Gráfok. Hogyan mutassam meg, hogy egy véges fában az összes leghosszabb út egy ponton megy át?

Legyen P_1 = x_1 x_2 ... x_k és P_2 = y_1 y_2 ... y_k két leghosszabb út a fában. Indirekt tegyük fel, hogy nincs közös csúcsuk. Mivel a fa összefüggő, van egy v_1 v_2 ... v_n út, hogy v_0 a P_1, v_n a P_2 útnak része. Ez az út mindkét leghosszabb utat feldarabolja két részre. Mindkét leghosszabb út esetében az egyik darab legalább k/2 hosszú. Véve ezt a két részt és a v_1 v_2 ... v_n utat, egy k csúcsnál többet tartalmazó utat kapunk. Ez ellentmondás mert a leghosszabb utak k hosszúak voltak.