Ebben a geometriai szerkesztős feladatban, hogy kell meghatározni a kör középpontját?

Ahhoz, hogy a kör mindkét egyenest érintse, az kell, hogy a kör középpontja mindkét egyenestől egyforma távolságra legyen, tehát hogy a két egyenes által bezárt szög szögfelezőjén legyen (ha párhuzamosak az egyenesek, akkor azon az egyenes kell, hogy legyen, ami párhuzamos a két egyenessel, és pont a kettő között megy egyenlő távolságra).

Tehát megvan az az egyenes (továbbiakban e), amin lévő pontokra igaz, hogy mindkét egyenestől egyforma távolságra vannak, azaz itt lesz a középpont, már csak ki kell választani azt a pontot az egyenesen, ami pont r távolságra van az egyenesektől (továbbiakban f és g).

Ezt a legegyszerűbb, ha megszerkeszted pl. az f egyenessel párhuzamos, tőle r távolságra lévő egyeneset. Ezen az egyenesen olyan pontok lesznek, amik az f-től r távolságra vannak. Ez az egyenes párhuzamos f-fel, ezért metszetni fogja e-t (ha f és g metszi egymást), a két egyenes metszéspontja olyan pont, ami egyrészről r távolságra van f-től (mert ezen az f-fel párhuzamos egyenesen van), másrészt egyenlő távolságra van f-től és g-től (mert e-n van), ami miatt ez a pont pontosan r távolságra lesz f-től és g-től is, ezért az erre a pontra, mint középpontra raksz egy r sugarú kört, akkor az érinti f-et és g-t is.

Ha f és g párhuzamos, akkor az e egyenes is a kettő között egyenlő távolságra lévő, velők párhuzamos egyenes lesz. Ha ez az egyenlő távolság r, akkor bármelyik e-n lévő pont alkalmas középpontnak, ha nem, akkor nincs alkalmas középpont.