Hogy lehet meghatározni a racionális gyököt?

Ebben az esetben könnyen lehet látni, hogy x=1 megoldás, mert az együtthatók összege 2-3+5-4=0.

Általánosan is van rá módszer:

[link]

A lényeg annyi, hogy ha a_0 a konstans tag, a_n a főegyüttható, és a racionális gyököt x=p/q alakban keresed, akkor szükséges feltétel, hogy p|a_0 és q|a_n oszthatóságok teljesüljenek. Ezzel véges sok értékre lehet szűkíteni a keresést, és megtalálni a racionális megoldást, ha van.

A fenti példádban a_0=-4, a_n=2, azaz p=-4,-2,-1,1,2,4 lehet, q=1,2, ezek közül persze csak p/q=1 ad megoldást.

A racionális gyök tételének lényege az, hogy HA VAN az egyenletnek RACIONÁLIS megoldása, akkor arra megadható egy véges lista, hogy milyen érték lehet ez a szám, aztán ki kell próbálni mindet, hátha valamelyik tényleg gyök.

Ha nincs racionális gyök, akkor nem segít ez a tétel semmit.

A link, amit az előző válaszoló írt, jól megmagyaráz mindent. Ha nem tudod angolul megérteni, ideírom a lényegét ezzel a példával levezetve:

Tegyük fel, hogy van egy x=p/q gyök, p és q relatív prímek. Ekkor:

2(p/q)^4 - 3(p/q)² + 5(p/q) = 4

Ki lehet emelni p-t, és szorozzunk q^4-nel:

p·(2p³ - 3pq² + 5·q³) = 4·q^4

A zárójelben lévő szám is egész, szóval csupa egész számmal van dolgunk. Ezért vizsgálhatjuk az oszthatóságot (illetve a prímtényezőkre bontást: "a számelmélet alaptétele"). A bal oldalon kiemelt p-nek szerepelnie kell a jobb oldal osztói között. Mivel p és q relatív prím, ezért p a 4-nek kell osztója legyen. Vagyis |p| a következő számok valamelyike vagy némelyike: 1,2,4

Átrendezhetjük az egyenletet máshogy is:

2(p/q)^4 = 3(p/q)² - 5(p/q) + 4

Most is szorozzunk be q^4-nel, majd a jobb oldalon emeljünk ki q-t:

2·p^4 = q·(3p²·q - 5p·q² + 4q³)

Most is a zárójeles tényező egész szám, ezért q osztója kell legyen a 2-nek. Vagyis |q| ezek közül valamelyik: 1,2

(Valójában most q² is kiemelhető, és mivel 2 első hatványa van csak a bal oldalon, tudhatnánk, hogy |q|=1 lehet csak.)

x=p/q teszteléséhez meg kell nézni a 3 féle |p| és 2 féle |q| mind a 6 féle kombinációját (illetve csak azokat, ahol p és q relatív prím), és azok negáltját is.

Természetesen általánosságban is igaz: p osztója kell legyen a polinom nulladfokú tagjának, q pedig osztója kell legyen a polinom legmagasabb fokú tagja együtthatójának. Nem is kell a fenti levezetést soha megtenni, csak ezt a rövid tételt alkalmazni.