MATEKOSOK, SEGÍTSÉG LÉGYSZÍVES! Másodfokúra visszavezethető szöveges példák megoldási menete?

A többit is egyenletrendszerben kell (lehet) felírni:

Legyen a vonat sebessége v, az eltelt idő t.

Az út első felén v sebességgel t idő alatt 350km-t tett meg:

v*t=350

A második felén az út időben tovább tartott, és mivel 1 órát elvesztett, így fel kellett gyorsítania 12km/h-val:

(v+12)*(t-1)=350

Ezek egyenletrendszert alkotnak. Az elsőből v=350/t, amit a másodikban beírunk v helyére:

(350/t+12)*(t-1)=350 /zárójelbontás

350-350/t+12t-12=350 /-350

-350/t+12t-12=0 /*t

12t^2-12t-350=0 /:12

Másodfokú egyenlet, megoldóképlettel megoldjuk: t1=12+gyök(144+16800)/24=~5,9237 (a másik negatív gyök, azzal nem foglalkozunk). Ebből v=~350/5,9237=59,0847

Ez azt jelenti, hogy az átlagsebesség ~59,0847km/h volt, a teljes idő 2*5,9237=11,8474 óra (kerekítéstől függően kapjuk a megoldást).

2. Itt is legyen a sebesség v, az idő t. Ekkor eredetileg

v*t=30 összefüggés alapján tette volna meg az utat. Mivel késett, ezért

(v+1)*(t-0,05)=30 alapján utazott (3 perc=3/60óra=0,05óra, így t-0,05 órával kevesebb ideje van beérni).

Az első egyenlet alapján v=30/t, amit beírunk a másodikba:

(30/t+1)*(t-0,05)=30 /zárójelbontás

30-1,5/t+t-0,05=30 /-30

-1,5/t+t-0,05=0 /*t

t^2-0,05t-1,5=0

Megoldóképletből t1=1,25 (t2 negatív), ebből v=30/1,25=24, tehát eredetileg 24km/h-s sebességgel 1,25 óra alatt tette volna meg az utat.

3. Először bontsuk két esetre:

Az első esetben egymás felé haladnak, akkor összesen 9 kilométert tesznek meg 1/3 óra (=20 perc) alatt. Ha a kerékpárosok sebessége v1 és v2, akkor a megtett út

1/3*v1+1/3*v2=9

A második esetben ugyanabba az irányba haladnak ugyanazzal a sebességgel; ekkor az egyikük 9 km-rel többet tesz meg, tehát a megtett utuk különbsége 9:

3*v1-3*v2=9

Az első egyenletben szorozva 3-mal, a másodikban osztva 3-mal:

v1+v2=27

v1-v2=3

egyenletrendszert kell megoldanunk. A második egyenletből v1=3+v2, az elsőbe beírva:

v2+3+v2=27

2*v2=24

v2=12, ebből v1=3+12=15, tehát a kerékpárosok sebessége 12 és 15 kilométer/óra.