Élet halál! Mi a megoldása 2-es alapú log3* 3-as log4* 4-es log5* 5-ös log6* 6-os log7* 7-es log8? Levezetés?

Nagyon szellemes feladat:

[link]

Tehát log(2)[3]*log(3)[4]*log(4)[5]*log(5)[6]*log(6)[7]*log(7)[8]

Ismernünk kell az áttérés más alapú logaritmusra képletet:

log(a)[b]=log(c)[b]/log(c)[a]

Írjuk át az első tagot 3-as alapra: log(2)[3]=log(3)[3]/log(3)[2]=1/log(3)[2].

Az átírás után vizsgáljuk az első két tag szorzatát:

(1/log(3)[2])*log(3)[4]=log(3)[4]/log(3)[2], ez az alak pedig a fenti képlet jobb oldala, tehát =log(2)[4]=2

Ugyanezt megcsináljuk a többi taggal is (a közbülső számolásokat már nem írom le, azt gyakorolt a fenti alapján):

log(4)[5]*log(5)[6]=log(4)[6]

log(6)[7]*log(7)[8]=log(6)[8]

Most a kapottakkal kell ugyanezt megcsinálni:

log(4)[6]*log(6)[8]=log(4)[8]

Ennek ki tudjuk számolni a pontos értékét a logaritmus azonosságaival:

log(4)[8]=log(4)[2^3]=3*log(4)[2), log(4)[2]-ről tudjuk, hogy 1/2, így az értéke 3/2.

Összeszorozva az először kiszámolt 2-essel: 2*3/2=3, tehát a kifejezés értéke 3.