Hány olyan 2013-mal osztható pozitív egész szám van, amelynek 2013 pozitív osztója van?

Nem hiszem, hogy jó, amit írok, de megpróbálkozok.

Íjuk fel azt a számot, aminek a kanonikus alakja úgy néz ki, hogy

3^α(1)*11^α(2)*61^α(3)*p(1)^α(4)*p(2)^α(5)*...*p(n)^α(n+3), ahol a p-k 3-tól, 11-től, 61-től és egymástól is különböző prímszámok. Ez a szám osztható 2013-mal, hiszen 3*11*61=2013. Azt is tudjuk, hogy

(α(1)+1)(α(2)+1)(α(3)+1)...(α(n+3)+1)=2013

Viszont 2013 legfeljebb 3 szám (ha mindegyik 1-től különböző) szorzata lehet, mert ha összetett számok szorzataként akarjuk kihozni a 2013-at, akkor legfeljebb 2 számot használhatunk fel. Azt a megjegyzést, hogy csak akkor igaz ez, ha 1-től különbözőek a számok figyelmen kívül hagyhatjuk, hiszen α(k)+1 egynél különböző.

Így a kezdeti szám leegyszerűsödik a 3^α(1)*11^α(2)*61^α(3) alakban felírható számra, az egyenlet pedig az (α(1)+1)(α(2)+1)(α(3)+1)=2013 egyenletre. Utóbbinak a megoldásai:

(α(1)+1)=3

(α(2)+1)=11

(α(3)+1)=61

vagy ezek más sorrendben.

Tehát a megoldások a 3^α(1)*11^α(2)*61^α(3) alakban felírható számok, ahol az α-kat 6 féle képpen lehet elhelyezni.

Az elején nem íródott ki valami, de remélem érthető és van egy sor, ami meg kettétört, ott a vége 2013 akar lenni.

De valaki ellenőrizze az egészet, mert lehet, hogy marhaság.

Bontsuk prímtényezőire a 2013-at:

2013|3

671|11

61|61

1

Tehát 2013=3*11*61. Ez azt jelenti, hogy a keresett szám prímtényezős felbontásában ezek a számok legalább 1-szer szerepelnek.

Egy szám osztóinak számát úgy számolhatjuk ki, hogy a prímtényezős felbontásban a kitevőkhöz hozzáadunk 1-et, majd összeszorozzuk a kapott értékeket. A 2013-nak (1+1)*(1+1)*(1+1)=8 osztója van.

Tehát olyan számokat kell találni, aminek prímtényezős felosztásában szerepel a 3, a 11 és a 61, a kitevőkhöz 1-et hozzáadva, majd azokat összeszorozva 2013-at kapunk. Tehát a kitevőknek 2-nek, 10-nek és 60-nak kell lenniük.

Alapesetben, mint ahogy ki is számoltuk, a kitevőkhöz hozzáadva 1-et, majd összeszorozva 8-at kapunk. Ha ehhez hozzávennénk új prímtényezőket, akkor a kitevőket szorozva sose kapnánk 2013-at, mivel a 2013 nem osztható 8-cal. Tehát a prímtényezőket kell a megfelelő hatványra emelni. A prímtényezőket kell 2., 30. és 60. hatványra emelni. A 3-ast 3-féleképpen hatványozhatjuk, a 11-est utána már csak 2-féleképpen, a 61-nek csak 1 szám marad ekkor, így 3*2*1=6-féleképpen lehet a prímtényezőket hatványozni, tehát 6 olyan szám van, ami osztható 2013-mal, és 2013 osztója van.