A 2^x-nek a deriváltja miért ln2xe^ (x*ln2)?

Nem annyi.

2^x deriváltja: 2^x * ln2

2^x = e^(x*ln2)

A kettő egy és ugyanaz, csak a jobb oldali túl van bonyolítva...

A helyes deriválási forma így szól (előre is bocsi de nem tudok speciális karaktereket írni) :

X az alfáadik hatványon deriváltja alfa szor (X az (alfa mínusz egyedik) hatványon). Ez benne van az alapfüggvények deriváltjainak táblázatában (lásd: Bolyai könyv, vagy interneten itt: [link]

A te függvényed deriváltja e szerint helyesen x*(2^(x-1)).

Amit a harmadik ír nemjó.

Mert itt nem az X van valahanyadikon, hanem valahány van az x-ediken.

Az meg ((alfa)^x-en)' = (alfa)^x * ln(alfa)

3-as!

Amit leírsz, az mind szép és jó, DE! Fontos kihangsúlyozni, hogy mi szerint deriválsz, mert nem mindegy. Amit Te írsz, az akkor igaz, ha X szerint deriválsz. Ha viszont alfa szerint, akkor teljesen más a megoldás (amit az első válaszoló ír).

A ln2 után az egy szorzás jel vagy véletlenül került oda az x?

Ugyebár:

e^(x*ln2) = e^ln(2^x) = 2^x

És ha ezt a transzformációt érted, akkor onnantól már egyszerű:

e^(x*ln2) az pont egy összetett függvény: exp(f(x)), ahol

exp(x) = e^x (ennek deriváltja e^x)

f(x) = ln2*x (ennek deriváltja ln2)

Láncszabály értelmében ezért e^(x*ln2) deriváltja e^x deriváltja x*ln2 helyen szorozva ln2*x deriváltjával [ exp'(f(x))*f'(x) ], ami pont:

ln2*e^(x*ln2), ahol a második tag a fenti alapján pont 2^x, tehát ln2*2^x