Mi a következő végtelen sor összege?

Gondolom, n≥2, nem pedig 1.

És valószínű így kellett volna zárójelezned:

1/((n·(n-1))

Nézzük egymás után a sorozat elemeinek az összegét:

n=2: 1/(2·1) = 1/2

n=3: 1/2 + 1/(3·2) = 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3

n=4: 2/3 + 1/(4·3) = 2/3 + 1/12 = 9/12 = 3/4

n=5: 3/4 + 1/(5·4) = 3/4 + 1/20 = 16/20 = 4/5

Ebből már látszik, hogy mi lehet ez az összeg, csak be kellene bizonyítani.

Teljes indukcióval megpróbálhatjuk:

Bizonyítani akarjuk, hogy n-ig az elemek összege (n-1)/n.

Indukciós feltevés: k-ig az elemek összege (k-1)/k

k+1-re: Be kellene bizonyítani, hogy az összeg (k+1-1)/(k+1) = k/(k+1)

(k-1)/k + 1/((k+1)k)

A közös nevező a (k+1)·k

A számláló: (k-1)(k+1) + 1 = k²-1+1 = k²

Lehet egyszerűsíteni k-val, épp a bizonyítandó k/(k+1) jön ki.

Kész a bizonyítás.

Ha pedig n-ig (n-1)/n az összeg, akkor a határérték végtelenben 1.

Azt ugye te is látod, hogy n=1-re nincs értelmezve a tört?

Szóval legfeljebb ezt lehet:

  ∞

  Σ  1/(n²-1)

n=2

A #1-hez hasonlóan ezt nem lehet elkezdeni, mert itt nem látszik olyan egyértelműen, hogy milyen az n-edik összeg.

Parciális törtekre bontással a szummázandó kifejezés:

1/(n²-1) = A/(n−1) + B/(n+1) = 0,5 / (n−1) − 0,5 / (n+1)

Nevezzük H(m)-nek ezt az összeget:

  m

  Σ  1/k

k=1

(Egyébként ennek a szummának harmonikus szám a szokásos neve, de ez most nem túlzottan érdekes.)

Ezeket könnyű belátni:

  m

  Σ 1/(n−1) = H(m−1) = H(m) − 1/m

n=2

m

Σ 1/(n+1) = H(m+1) − (1 + 1/2) = H(m) + 1/(m+1) − (1 + 1/2)

n=2

Ezekkel az eredeti m-ig:

m

Σ 1/(n²-1) = 0,5 · [ H(m) − 1/m − H(m) − 1/(m+1) + (1 + 1/2) ]

n=2

  = 0,5 · (3/2 − 1/m − 1/(m+1))

  = 3/4 − ( 1/m + 1/(m+1)) ) / 2

Aminek a határértéke 3/4