Trig. Egyenlet, hogy oldjam meg?

Legyen x/2=j, ekkor

1-cos(2j)=sin(j) egyenletet kapjuk.

Ismeretes, hogy cos(2j)=cos^2(j)-sin^2(j):

1-(cos^2(j)-sin^2(j))=sin(j) /zárójelbontás

1+sin^2(j)-cos^2(j)=sin(j)

Az is ismeretes, hogy sin^2(j)+cos^2(j)=1, amiből -cos^2(j)=sin^2(j)-1

1+sin^2(j)+sin^2(j)-1=sin(j) /összevonás

2sin^2(j)=sin(j) /-sin(j)

2sin^2(j)-sin(j)=0 /kiemelés

sin(j)*(2sin(j)-1)=0

Szorzat akkor 0, ha valamelyik tag 0, ezért

vagy sin(j)=0, amire j=0+k*π (k tetszőleges egész. Mivel j=x/2, ezért x/2=0+k*π, vagyis x=0+k*2π (k tetszőleges egész),

vagy 2sin(j)-1=0; sin(j)=1/2, amire

I. negyedben j=π/3+k*2π, j=x/2 miatt x/2=π/3+k*2π, tehát x=2π/3+k*4π (k tetszőleges egész)

II. negyedben j=π-π/3+k*2π=2π/3+k*2π, j=x/2; x=4π/3+k*4π (k tetszőleges egész).

1 - cos 2(x/2) = sin x/2

1 - cos² x/2 + sin² x/2 = sin x/2

1 - (1 - sin² x/2) + sin² x/2 = sin x/2

1 - 1 + sin² x/2 + sin² x/2 = sin x/2

2 sin² x/2 = sin x/2

2 sin² x/2 - sin x/2 = 0

sin x/2(2 sin x/2 - 1) = 0

a/

sin x/2 = 0

x/2 = k*π, k egész szám

x1 = 2k*π

b/

2 sin x/2 - 1 = 0

2 sin x/2 = 1

sin x/2 = 1/2

x/2 = π/6 + k*2π

x2 = π/3 + 4k*π

x/2 = 5π/6 + k*2π

x3 = 5π/3 + 4k*π, k egész szám

30° = π/6 rad

sin 30° = sin π/6 = 1/2

A kérdező válogathat a válaszokban:

[link]