(Térgeo házi! ) Egy téglatest térfogata 320 cm3. Mekkorák a téglatest lapátlói, ha az élek aránya 2:4:5? Mekkora a téglatest testátlója és felszíne?

Ha az élek aránya 2:4:5, akkor elnevezhetőek az élek 2x-nek, 4x-nek és 5x-nek, mivel ekkor (2x):(4x):(5x)=2:4:5. Ezeknek a szorzata lesz a téglatest térfogata (térfogatképletből):

2x*4x*5x=320

40x^3=320

x^3=8

x=2, tehát az élek: 2*2=4cm, 2*4=8cm, 2*5=10cm.

Könnyen belátható, hogy egy a;b;c oldalhosszú téglalap testátlója √(a^2+b^2+c^2) (2 Pitagorasz-tétel kell csak hozzá), így a testátló hossza √(4^2+8^2+10^2)=√(16+64+100)=

=√180, ez még szebb alakra hozható; =√(9*20)=√(9*4*5)=√(36*5)=

=6*√5cm, ez igény szerint kiszámolható, =~13,4164cm (ha érettségin gyökös alakban hagyod, azt is elfogadják, hacsak nem kérik külön, hogy hány tizedesjegyre kerekítve add meg a megoldást).

A felszíne a 2(ab+bc+ca) képletből kiszámolható; 2(4*8+8*10+10*4)=

=2(32+80+40)=2(152)=304cm^2.

Szabályos háromszög magassága 5√3cm, ebből már kiszámolható az oldala.

Három lehetőség van;

-vagy tudjuk, hogy tetszőleges x oldalú szabályos háromszögnek a területe x^2*√3/4, de azt is tudjuk, hogy tetszőleges háromszög területe kiszámolható az alapél*magasság/2 képletből, esetünkben x*5√3/2, ezek egyenlők, mivel ugyanarról a háromszögről van szó:

x^2*√3/4=x*5√3/2 /:(x*√3); x nem 0

x/4=5/2 /*4

x=10, tehát az oldala 10cm.

-vagy tudjuk, hogy szabályos x oldalú háromszög magassága x*√3/2, ekkor x*√3/2=5√3, ebből x=10cm.

-vagy az első kettőt nem tudjuk; ekkor rajzoljunk egy x oldalhosszúságú szabályos háromszöget, majd húzzuk be a magasságvonalát, ez lesz 5√3cm. A magasságvonal behúzása után 2 derékszögű háromszöget kapunk, ahol az egyik befogó a magasságvonal, a másik befogó az eredeti oldal fele, vagyis x/2, mivel a magasságvonal felezte azt az oldalt, átfogója az eredeti háromszög oldala, vagyis x, erre felírható a Pitagorasz-tétel:

(x/2)^2+(5*√3)^2=x^2

x^2/4+75=x^2 /-x^2/4

75=3x^2/4 /*4; :3

100=x^2, ebből x=10cm.

Ebből kiszámolható az alapterület: 10*5*√3/2=25*√3cm^2.

Megadták, hogy a palást területe ennek a 6-szorosa, vagyis 150*√3cm^2. A palást 3 téglalapból áll; a téglalapok egyik oldala az alapél, vagyis 10cm, másik oldala a testmagasság, ezt nevezzük M-nek, így már kiszámolható a palást területe: (10*M)*3=30*Mcm^2, ez egyenlő a fenti értékkel:

30*M=150*√3 /:30

M=5*√3cm, véletlen egybeesés, hogy ugyanakkora a testmagasság, mint az alaplap magassága.

Így már kiszámolható a térfogat az alapterület*magasság képletből;

25*√3*5*√3=375cm^3.