Integrálás. Feladat, de hogyan?

integrál[4*(6+2x)^(1/3)] =

4 * integrál[(6+2x)^(1/3] =

4 * (3/8)*(6+2x)^(4/3) +C =

(12/8) * (6+2x)^(4/3) + C =

(3/2) * (6+2x)^(4/3) +C

(6+2x)^(1/3) integrálja az

(6+2x)^(4/3)* valami alakú lesz.

A valamit úgy lehet megkapni, hogyha ezt deriválod.

A*(6+2x)^(4/3) deriváltja:

A*4/3*(6+2x)^1/3*2 (Az utolsó 2-es a belső függvény deriváltja)

A*4/3*2 -nek "el kell tűnnie", vagyis A=3/8, akkor pont

1*(6+2x)^(1/3) fog maradni.

Gondolkodj visszafelé, mit kell lederiválnod, hogy a feladatban lévő összefüggést kapd!

Most vegyük ki a 4-es szorzót:

integrál[(6+2x)^(1/3)] =

(3/8)*(6+2x)^(4/3) +C

Hogy miért? Az gondolom teljesen nyilvánvaló, hogy a (6+2x) hatványa 4/3 lesz, mivel hozzá kell adni egyet. Most pedig deriváld le:

[(6+2x)^(4/3)]' = (4/3)*(6+2x)*2

-> azért van ott a kettes szorzó a végén, mert összetett függvényt deriválsz, tehát a belső függvény deriváltjával is szorzol.

Ekkor ugye azt kapod, hogy (8/3)*(6+2x)

Namármost mivel a feladatban szimplán (6+2x) szerepel, ezért amit deriválsz, azt szorozd meg a (8/3) reciprokával, vagyis (3/8)-dal, így ez a tag kiesik, és marad (6+2x).

Érthető így?