Hogy jött ez ki?

Ha ez a Gauss-elimináció, akkor:

Keressünk egy 1-est a "bal" oldalon (a vonaltól balra), ha nincs, akkor gyártunk 1-et; nézzük ki az egyik szimpatikus számot, és a szám értékével osszuk végig a szám sorát, ezzel kreáltunk magunknak egy 1-est. A példádnál ez az eset nem áll fenn, mivel bőven válogathatunk az 1-esekből.

Látszik, hogy a tanár (vagy aki írta) a bal felső sarkos 1-essel akarta végigvinni. A feladat az, hogy a kiválasztott 1-es alatt minden számot kinullázzunk úgy, hogy a kiválasztott szám valahányszorosát elvesszük vagy hozzáadjuk az alatta lévőhöz. Nézzük a második sort: a 2-esből az 1-es kétszeresét kell elvennünk, hogy 0-t kapjunk.

Most az 1-es sorában az összes szám alatti számmal ugyanezt kell tenni; a szám kétszeresét ki kell vonni az alatta lévőből. A második sor így fog kinézni:

0;-5;-5;-10, de ezt a sort végigoszthatjuk -5-tel, így a második sorból 0;1;1;2 lesz.

Ugyanezt a harmadik sorral is meg kell csinálnunk: mivel a 3-ból úgy lesz 0, hogy az 1-es 3-szorosát kivonjuk, ezért az összes többivel is ezt kell tennünk; a harmadik sor: 0;-6;-10;-24, -2-vel tudunk osztani: 0;3;5;12

A mátrix itt tart (a kijelölt 1-est °-lel jelölöm):

(1°;2;3|9)

(0;1;1|2)

(0;3;5|12)

Megint választanunk kell egy 1-est, de az előbb kijelölt 1-es sorában és oszlopában már nem jelölhetünk másikat. Most válasszuk ki a középső 1-est, és ugyanaz a teendőnk, mint az előbb volt; a fölötte lévő 2-es miatt a számok 2-szeresét vonogatjuk ki, így az első sor: 1;0;1;5. Az alsó sorból a középső 3-szorosát vonjuk ki, így az alsó sor: 0;0;2;6, 2-vel osztva 0;0;1;3:

(1°;0;1|5)

(0;1°;1|2)

(0;0;1|3)

Választható 1-esnek a jobb alsó 1-es maradt; mindkét sornál a számot kell kivonni, így a mátrix:

(1°;0;0|2)

(0;1°0|-1)

(0;0;1°|3)

Ezt a mátrixot eredetileg egy lineáris egyenletrendszerre írtuk fel, ahol az ismeretlenek együtthatóit írtuk fel; általánosan az első oszlopba írjuk az x-es tagok együtthatóit, másodikba az y-os tagokét, a harmadikba a z-éket, a negyedik oszlopba az egyenletek eredményét. Többismeretlenes egyenletrendszerre is fel lehet írni a mátrixot, ekkor is ügyelve arra, hogy az azonos ismeretlenek együtthatói ugyanabba az oszlopba kerüljenek. Tehát a mátrix alapján ez volt az egyenletrendszer:

1x+2y+3z=9

2x-1y+1z=8

3x+0y-1z=3

A kapott mátrixból pedig leolvashatóak azok az értékek, amik kielégítik az egyenletrendszert. Ahogy kiolvastuk az eredetiből az egyenletrendszert, ugyanígy erre is felírjuk:

1x+0y+0z=2, vagyis x=2

0x+1y+0z=-1, vagyis y=-1

0x+0y+1z=3, vagyis z=3

Ellenőrizzük a megoldást:

1*2+2*(-1)+3*3=9, ez igaz.

2*2-1*(-1)+1*3=8, ez is igaz.

3*2+0*(-1)-1*3=3, ez is igaz.

Tehát megtaláltuk az egyenletrendszer megoldását: (x;y;z)=(2;-1;3). Több megoldás nincs, mivel ez a három egyenlet egy-egy térbeli egyenes egyenlete, és tudjuk, hogy ezek az egyenesek legfeljebb 1 pontban metszhetik egymást, méghozzá a (2;-1;3) pontban.

Az egyenletrendszer megoldása során 3 eset lehetséges:

-létezik egyértelmű megoldás, vagyis mindegyik ismeretlennek pontosan 1 értéke lehet, mint amit most is láthattunk.

-nem létezik egyértelmű megoldás, vagyis valamelyik (akár több) ismeretlen tetszőleges értéket vehet fel. Ez úgy derül ki, hogy az egyik sor "üres sorrá" változik, vagyis minden tagja kinullázódik, így az a sor kiesik, vagyis a 3 ismeretlenre 2 sor jut, vagyis valamelyik mindenképp érték nélkül marad, ez lesz a tetszőleges, például:

-1. aleset: végeredménynek 2 darab 1-est kapunk két külön sorban a mátrixban, miután kihúztuk az üres sort:

(1°;0;0|5)

(0;0;1|6)

Ebben az esetben x=5, z=6, y értéke tetszőleges.

-2. aleset: az egyik sorba az 1-es mellett egy másik (0-tól különböző) szám is marad:

(0;1°;0|8)

(1°;0;3|9)

Ekkor az egyenletrendszernek akkor lesz megoldása, ha y=8, valamint az x+3z=9 egyenlet teljesül, ekkor x és z értéke egymástól függ a fenti egyenlet függvényében.

-3. aleset: 1 sorba kerül az összes ismeretlen száma (3 ismeretlenes egyenletrendszer esetén 2 üres sort kapunk):

(1;3;5|7), vagyis az egyenletrendszer akkor lesz igaz, ha x+3y+5z=7, ez az eset akkor jöhet létre, ha mindhárom egyenlet egymás számszorosai, ekkor az előbb megtanult szabály alapján mindenkit kinullázunk (2 lépésből).

-nem létezik megoldása, ez úgy derül ki, ha valamelyik sor tilos sorrá változik; akkor tilos egy sor, ha bal oldalon csupa 0 van, jobb oldalon meg valami 0-tól különböző szám van, például:

(0;0;0|5)

Nem nehéz kitalálni, hogy miért; ha visszaírnánk egyenletté, akkor 0x+0y+0z=5 egyenletet kapunk, ami 0=5, ami nem igaz, így ez tilos sor lesz, ekkor nem lesz semmilyen megoldása az egyenletnek.

Remélem írásomból mindenre fény derül, ha mégsem, írj nyugodtan, akár privátban is!

Szerintem tud számolni, csak nem írta le a lépéseket :)

Az első sor változatlan, a másodikból levonta az első sor kétszeresét. (Cél, hogy 0-k legyenek) Ekkor maradt 0 -5 -5 -10. Ezt a sort osztotta -5-tel, így jött ki a 0 1 1 2.

A harmadik sorból levonta az első sor háromszorosát, maradt 0 -6 -10 -24. Ez így még nem fest elég jól, így folytatta azzal, hogy ehhez az előzőleg rendezett sor hatszorosát hozzáadta. Így 0 0 -4 -12 lett. Ezt elosztotta -4-gyel, 0 0 1 3.

Ha egyenletrendszer volt, akkor így z=3, mert a többi változó kiesett. y+z=2-ből megvan y, onnan pedig x is.