Lim 1-x/ctg pi*x/2 ahol x--1 közeledik akárhogy próbáltam nem jött ki semmi részletesen ha kérhetem?

Tanultátok a L'Hospital szabályt? Azzal gyorsan kijön.

Próbáld meg.

A L'Hospitalt akkor majd később tanuljátok. A ZH-n is lesznek majd olyan feladatok is, amit direkt L'Hospital nélkül kell megoldani, hiába tudjátok már az LH-t. Ez is olyan ezek szerint.

Gondolom az 1-x a számlálóban van, szóval itt a számítógépen zárójelbe kell tenni

 lim (1-x)/ctg(x·π/2)

x→1

(1-x)/ctg(x·π/2) = (1-x)·sin(x·π/2)/cos(x·π/2)

sin π/2 = 1, azt kihagyhatjuk a limeszből.

Legyen y=1-x. Ez 0-hoz tart.

 lim y/cos((1-y)·π/2)

y→0

A nevező:

cos ((1-y)·π/2) = cos(π/2 - y·π/2) = sin(y·π/2)

Legyen z=y·π/2, ez is 0-hoz tart:

 lim 2/π·z/sin z

z→0

Azt valószínű tanultátok viszont, hogy sinx/x 1-hez tart, ha x tart 0-hoz. Persze a reciproka is 1-hez tart, tehát a teljes kifejezés 2/π-hez tart.

----

Ha nem tanultátok még sinx/x határértékét sem, akkor az kijön azzal a trükkel, hogy felírod a sin(x) függvény deriváltjának a definícióját az x₀ pontban:

  lim (sin x - sin x₀)/(x-x₀)

x→x₀

Azt már középiskolában is tudjuk, hogy ez cos x₀ lesz

Ha x₀ = 0:

  lim (sin x - sin 0)/x = cos 0 = 1

x→0

A limesz pedig pont a sin x / x limesze, ami tehát 1.