Egy négyzet alapú gúla alapéle 10 cm hosszú, magassága 8 cm. A testet a magasság fékezőpontján átmenő, az alaplappal párhuzamos síkkal elmetsszük. Mekkora a két keletkező test térfogata és felszíne?

Szerintem te valamit nagyon félreolvastál; az FELEZŐPONT, a fékezőpontnak nincs semmi értelme.

A négyzet középvonala az a vonal, ami összeköti a szemközti felezőpontokat és párhuzamos a másik két oldallal. Húzzuk be ezt a vonalat, majd a megjelölt felezőpontokat kössük össze a gúla csúcsával, ezzel az oldallapok magasságát húztuk be. Nézzük ezt a három vonalat; ezek egy egyenlő szárú háromszöget határoznak meg, ahol az oldallapok magasságai a szárak, alapjának hossza megegyezik az alaplap élének hosszával. Ennek a háromszögnek a magassága megegyezik a testmagassággal, ami a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja, ahol a magasságvonal és az alap fele a befogók. Pitagorasz-tétellel kiszámolható az oldallapok magassága (m):

8^5+5^2=m^2

64+25=m^2

89=m^2

√89=m

Felezzük el ennek a háromszögnek a magasságvonalát az alapjával párhuzamos szakasszal. Erre a háromszögre felírható a párhuzamos szelők tétele (jelöljük a behúzott szakaszt x-szel):

4/x=8/5, innen x=2,5, tehát a kis gúla alapéle 5cm. A kis gúla oldallapi magasságát (y) is kiszámolhatjuk Pitagorasz-tétellel:

2,5^2+4^2=y^2

6,25+16=y^2

22,25=y^2

√22,25=y

Ennyi adatból már ki tudjuk számolni a keletkező testek térfogatát és felszínét:

A nagy gúla térfogata 10^2*8/3=800/3 cm^3

A kis gúla térfogata 5^2*4/3=100/3 cm^3

A csonka gúla térfogata a két gúla térfogatának különbsége: 800/3-100/3=700/3cm^3.

A felszínt mindig úgy számoljuk, hogy összeadjuk a határoló lapok területét. Itt szögezném le, hogy a fenti kivonásos módszer nem működik a felszínszámításnál (pontosabban működik, csak számolnunk is kell azzal, hogy a szétvágással új síkok keletkezhetnek, amiknek szintén ki kell számolni a területét).

Kis gúla felszíne: 4 egyenlő szárú háromszög és 1 alaplap határolja, így a felszíne alapterület+4*háromszög.

Alaplap területe: 5^2=25cm^2

Háromszög területe: alaplap*magasság/2=5*√22,25/2=2,5*√22,25

Felszín: 25+4*2,5*√22,25=25+8*√22,25=~62,736cm^2

Csonka gúla felszíne: van két különböző nagyságú alaplapja és 4 húrtrapéza, amiknek a magassága √89-√22,25=√(4*22,25)-√22,25=

=2√22,25-√22,25=√22,25, így a trapéz területe: (10+5)*√22,25/2, ennek négyszerese 2*15*√22,25=30*√22,25.

Alaplapok területe: 5^2=25 és 10^2=100, így a csonka gúla felszíne: 25+100+30*√22,25=~266,51cm^2.