Hogyan kell megoldani a következő abszolút értékes feladatot? Milyen esetek lesznek?

Az ilyen feladatoknál érdemes felrajzolni a függvényeket külön-külön, hogy lássuk az esetszétválasztási pontokat; ahol a függvény "megtörik", vagyis az eredeti érték és az abszolútérték eltér. Tehát meg kell nézni, hogy az abszolútérték nélküli függvények hol lesznek negatívak:

x^2-9<0

x^2<9

x<3 és x>-3

Ha x értéke a (-végtelen;-3]U[3;végtelen) intervallumon van, akkor x^2-9 a függvény, egyébként a -(x^2-9) függvényt kell vizsgálnunk, pontosan azért, mert azt a részt az x-tengelyre tükröztük, és az x-tengelyre való tükrözést úgy valósítjuk meg, hogy a függvényt megszorozzuk -1-gyel (ha lerajzolod, és a "felfelé kunkorodó" részre ráilleszted a -(x^2-9) függvényt, akkor látni fogod, hogy pontosan illeszkedik).

Ugyanezt megcsináljuk az x^2-4-gyel is:

x^2-4<0

x^2<4

x<2 és x>-2

Ha x értéke a (-végtelen;-2]U[2;végtelen intervallumon van, akkor az x^2-4 függvényt, egyébként a -(x^2-4) függvényt vizsgáljuk.

Most az a dolgunk, hogy megnézzük, hogy ezek az intervallumok hogy metszik egymást, és ezeken a metszeteken hogy viselkednek az abszolútértékes tagok.

1. (-végtelen;-3] intervallumon mindkét függvény "eredeti" állapotában van, vagyis a

x^2-9+x^2-4=5 egyenletet kell megoldanunk.

2x^2-13=5

2x^2=18

x^2=9

x=3 és/vagy -3.

Mivel ezek közül a -3 esik csak bele a (-végtelen;-2] intervallumba, ezért csak azt tudjuk elfogadni megoldásnak; ezen az intervallumon a 3 hamisgyöknek minősül.

2. [-3;-2] intervallumon az első mínuszt kap, a másik marad eredetiben, így a

-(x^2-9)+x^2-4=5 egyenletet kell megoldanunk.

-x^2+9+x^2-4=5

5=5, ami igaz, így az egész intervallum megoldás.

3. [-2;2] intervallumon mindkét függvény mínuszt kap:

-(x^2-9)-(x^2-4)=5

-x^2+9-x^2+4=5

-2x^2=-8

x^2=4

x=2 és/vagy -2

Mindkét megoldás beleesik a megszabott intervallumba, ezért ezek jó megoldások.

4. [2;3] intervallumon az első kap mínuszt:

-(x^2-9)+x^2-4=5

-x^2+9+x^2-4=5

5=5, itt is az egész intervallum megoldás lesz.

5. [3;végtelen) intervallumon mindenki marad a helyén:

x^2-9+x^2-4=5

2x^2=18

x^2=9

x=3 vagy -3, de csak a 3 esik bele a megoldáshalmazba, ezért ezen az intervallumon a 3 lesz csak megoldás.

Tehát x lehetséges értékei a [-2;-3] és a [2;3] intervallumokon van.

Még egy segítség:

[link]

A #9-es vagyok.

Annyi korrigálással, hogy -3 és +3 is beletartozik a megoldáshalmazba. Bocs.