Segitenete valaki nekem megoldani?

Első:

át lehet írni az első egyenletet így: a*b*c=10*b+c, amibe a másodikat behelyettesítve és kicsit átrendezve:

a*b=10/a+1

Mivel c=a*b 1 és 9 közötti egész szám, 10/a-nak is egésznek kell lennie, így a 1, 2 és 5 lehet.

Ha a 1 lenne, 1*b=b=10+1=11>9, így ez nem jó.

Ha a 5 lenne, 5*b=2+1, így b=3/5, ami nem egész, így ez sem jó, vagyis kizárásos alapon a=2.

2*b=5+1, amiből b=6/2=3.

c=a*b=3*2=6.

Második:

Az előző logikájával:

10*a+b=2*a+3*b amiből b=4*a.

(gondolom 2a-val 2*a-t jelölted, ha nem, akkor nem jön ki egész szám a számjegyekre)

Valamiért nekem nem jött ki megoldás (hacsak nem engedünk meg egy szépséghibát, hogy 0 számjeggyel kezdődő alakban is felírhatjuk a számokat (00, 01 02, 03, ..).

Nem találtam meg, hogy nem rontottam-e el valamit.

Azért leírom, hátha legalább ötletet ad valakinek.

Idáig jutottam el:

┏ a⋅b⋅c = 10⋅b + c

┗ a⋅b = c

a⋅b⋅(a⋅b) = 10⋅b + a⋅b

(a⋅b)² = 10⋅b + a⋅b

(a⋅b)² = (10+a)⋅b

a²⋅b² = (10+a)⋅b

a²⋅b⋅b = (10+a)⋅b

Esetszétválaszttás 1. ága: b = 0,

ekkor mindenkét oldal 0 lesz, a-t tetszőlegesen megválaszthatjuk, c pedig = a⋅b, vagyis c is 0 lesz

a ⋅ 0 ⋅ 0 = 00

Ez azonban szépséghiba, mert a számokat nem szoktuk úgy felírni, hogy 0 jeggyel kezdődjenek.

Esetszétválasztás 2. ága: b nem 0,

Ott tartottunk, hogy

a²⋅b⋅b = (10+a)⋅b

Mindkét oldalt leoszthatjuk a nemnulla b-vel:

a²⋅b = 10+a

Tekintsük a-t úgy, mint egy ismeretlent, és a b-t pedig úgy, mint egy meg nem nevezett, de ismert, konkrét számot!

b⋅a² - a - 10 = 0

vagyis

b⋅a² + (-1)⋅a + (-10) = 0

alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét

a₁,₂ =

-(-1) ± √[(-1)² - 4⋅b⋅(-10)]

─────────────────

2

=

1 ± √(1 + 40⋅b)

───────────────

2

A negatív megoldásokat hagyjuk, hiszen a-re úgy gondolunk, mint számjegyre, tehát csak 0 és 9 között jönnek szóba a lehetséges értékei.

Próbálgassunk, milyen b értékekre lesz a gyökjel alatt négyzetszám

b = 1? Nem jó, mert 41 nem négyzetszám

b = 2? No ez már jó, mert 81 igenis négyzetszám, 9-nek a négyzete. Ebben az esetben a₁,₂ = (1 ± 9) / 2, csak a pozitív megodást véve a = 5.

b = 3? Ez is jó, mert 121 is négyzetszám, 11-nek a négyzete. Ebben az esetben a₁,₂ = (1 ± 11) / 2, csak a pozitív megodást véve a = 6.

...

...a többi szám nem jó, kivéve még:

b = 9? Ez is jó, mert 9⋅40+1 is négyzetszám, 361, vagyis 19-nek a négyzete. Ebben az esetben a₁,₂ = (1 ± 19) / 2, csak a pozitív megodást véve a = 10.

Tovább nem kell próbálgatni, hiszen b-re úgy gondolunk, mint számjegyre, tehát csak 0 és 9 között jönnek szóba a lehetséges értékei.

Tehát

b = 2, 3, 9

a = 5, 6, 10

Ebből a = 10 nem jó, hiszen a-ra is úgy gondolunk, mint számjegyre, tehát csak 0 és 9 között jönnek szóba a lehetséges értékei.

a = 5, 6

Tehát az összetartozó megoldáspárok:

b = 2, a = 5

és a másik megodáspár:

b = 3, a = 6

Nézzük, milyen c értékek felnek meg a két megoldáspárnak:

b = 2, a = 5, c = a⋅b = 2⋅3 = 10

és a másik a, b megoldáspár esetén:

b = 3, a = 6, c = a⋅b = 3⋅6 = 12

Ebből semelyik c megoldást sem fogadhatunk el, hiszen c-re is úgy gondolunk, mint számjegyre, tehát csak 0 és 9 között jönnek szóba a lehetséges értékei.