Szabályos gúla alaplapja 2,54 cm oldalú szabályos háromszög, oldalélei egymásra merőlegesek. Mekkora a felszíne és a térfogata?

Lévén szabályos gúláról van szó, az oldalélek ugyanakkorák, ráadásul derékszöget zárnak be egymással; gyakorlatilag az oldallapok derékszögű háromszögek, ahol az átfogó az alapél. Legyen o az oldalél, ekkor Pitagorasz-tétellel:

o^2+o^2=2,54^2

2o^2=6,4516

o^2=3,2258

o=gyök(3,2258)=~1,796

Ebből már kiszámolható a felszín: A=4*o^2/2+2,54^2*gyök(3)/4

A=4*3,2258/2+2,54^2*gyök(3)/4

A=~6,4516+2,793625=9,245225 cm^2

Ha jobban megnézzük, akkor láthatjuk, hogy az alap köré írható körének sugara (r), a testmagasság (M) és az oldalél derékszögű háromszöget alkotnak, ahol az oldalél az átfogó. Az r-t ki tudjuk számolni; ha készítünk egy vázlatot, akkor a vázlatban összekötve a háromszög középpontját a csúcsokkal, akkor ugyanakkora szakaszokat húzunk be, ezek a köré írható kör sugarai. Látható, hogy 3 egyenlő szárú háromszögre bontják a háromszöget, ahol a szögek 30°;30°, ezekből 120° a harmadik (mivel ezek a sugarak felezik a szögeket, amik 60°-sak, ebből lesznek a 30°-ok, a harmadik szög a háromszögre vonatkozó belső szögösszegtételből jön ki).

Ha behúzzuk az egyik kis háromszög magasságvonalát (m), akkor két derékszögű háromszöget kapunk. Ezt a magasságvonalat ki tudjuk számolni; az alap háromszög területe 2,54^2*gyök(3)/4, ezt a háromszöget osztottuk 3 egyenlő részre, tehát a kis háromszögek területét összeadva megkapjuk az eredeti területét. 1 háromszög területe 2,54*m/2, ebből van 3, így az egyenlet:

2,54^2*gyök(3)/4=3*2,54*m/2

2,54*gyök(3)/4=3*m/2

2,54*gyök(3)/2=3*m

2,54*gyök(3)/6=~0,733235=m

Innen kiszámolható a sugár is, mivel m, az alap fele (1,27) és a sugár derékszögű háromszöget határoznak meg, utóbbi az átfogó:

(2,54*gyök(3)/6)^2+1,27^2=r^2

3,2258+1,6129=r^2

4,8387=r^2

gyök(4,8387)7~2,1997=r

Innen már a testmagasság is menni fog:

gyök(4,8387)^2+M^2=3,2258^2

4,8387+M^2=10,40578564

M^2=5,56708564

M=~2,36

Így a térfogat:

V=2,793625*2,36=6,592955cm^3.

Az első válaszoló "indításával" tökéletesen egyetértek. A gondom itt kezdődik:

"Ebből már kiszámolható a felszín: A=4*o^2/2 .."

Sajnos a saját megoldásomban sem vagyok biztos:

[link]

Hátha valaki "igazságot tesz".

Azért ennyire nem bonyolult ez a feladat, ha más fekvésben vizsgáljuk a leányzót. :-)

Tulajdonképpen egy kocka levágott sarkáról van szó a következő ábra szerint:

[link]

Talán külön magyarázat nélkül is érthető a megoldás, ha nem, lehet kérdezni.

DeeDee

**********