Össze lehet e állítani 1x1-es és 2x2-es négyzetekből egy nagyobb négyzetet úgy, hogy a felhasznált kétféle négyzet együttes száma pontosan a) 2009; b) 2010?

Félig-meddig számelmélet feladat;

Először rakjunk ki egy hatalmas négyzetet csak 1*1-es négyzetekből. Ha szeretnénk lecsökkenteni ennek a nagy négyzetnek a kis négyzet számát, akkor úgy járunk el, hogy kiválasztunk 4 olyan négyzetet, melyeknek van közös csúcsuk, azokat kivesszük, majd a helyükre rakunk egy 2*2-es négyzetet. Nem nehéz rájönni, hogy ezzel 3-mal csökkentettük a kis négyzetek számát. Ebből adódóan azt kell megvizsgálnunk, hogy a négyzetszámok milyen maradékot adnak 3-mal osztva:

1^1:3 maradéka 1

2^2:3 maradéka 1

3^2:3 maradéka 0

Ha ezt tovább folytatnánk, ezt a maradéksort kapnánk: 110110110110...

Ebből az derül ki, hogy csak annyi számúra lehet lecsökkenteni a kis négyzetek számát, ami 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot ad. Mivel a 2009 3-mal osztva 2 maradékot ad, ezért ezt semmi szín alatt nem tudjuk kirakni. A 2010-et ki tudjuk rakni, mivel 0 maradékot ad 3-mal osztva, például:

rakjunk ki egy 45*45-ös nagy négyzetet 1*1-es négyzetekből, ekkor 45*45=2025 négyzetet használtunk fel. Válasszunk ki 5 darab 4-es, egymástól független csoportot (semelyik kettőnek nincs közös négyzete), ezeket leváltva 2*2-es négyzetekre 2025-3*5=2010 kis négyzetből fog állni a nagy négyzet. Persze ezt végtelen sok módon ki tudjuk rakni, csak arra kell figyelnünk, hogy (45+3k)*(45+3k) (k nemnegatív egész) oldalhosszú nagy négyzetet kell kiraknunk.