Egy kalapban 1998 cédula van, az 1,2,3 …,1998 számokkal. Hányat kell kihúznunk, hogy biztosan legyen köztük két olyan szám, amelyek összege biztosan osztható 5-tel?

Két szám összege osztható 5-tel, ha 5-ös maradékaik összege osztható 5-tel, például

18+32=50, erről tudjuk, hogy osztható 5-tel.

18 5-ös maradéka 3

32 5-ös maradéka 2

A kettő összege 5, ami osztható 5-tel így az összeg is osztható 5-tel.

5-tel osztható számok: 5; 10; ... ; 1990; 1995. Tudnunk kell, hogy ezekből hány van. Ha számtani sorozatként kezeljük ezt az adathalmazt (mert az is), akkor így számolhatunk: a sorozat első tagja 5, n-dik tagja 1995, a differenciál 5 és tudjuk, hogy

a_n=a_1+(n-1)*d ("_": alsó index) (remélem ezt ismered)

Behelyettesítünk:

1995=5+(n-1)*5 /:5

399=1+n-1, tehát n=399, ennyi 5-tel osztható szám van.

1 maradékot adó számok: 1; 6; ...; 1991; 1996

Ugyanúgy járunk el, mint az előbb:

1996=1+(n-1)*5 /-1

1995=(n-1)*5 /:

399=n-1, tehát n=400, ennyi 1 maradékot adó szám van.

2 maradékot adó számok: 2; 7; ...; 1992; 1997

1997=2+(n-1)*5 /-2

1995=(n-1)*5 /.

399=n-1, tehát n=400, ennyi 2 maradékot adó szám van.

3 maradékot adó számok: 3; 8; ...; 1993; 1998

1998=3+(n-1)*5 /-3

1995=(n-1)*5 /:5

399=n-1, tehát n=400, ennyi 3 maradékot adó szám van.

4 maradékot adó számok: 4; 9; ...; 1989; 1994

1994=4+(n-1)*5 /-4

1990=(n-1)*5 /:5

398=n-1, tehát n=399, ennyi 4 maradékot adó szám van.

Adjuk össze ezeket az n-eket; ha az összegük 1998, akkor jól számoltunk:

399+400+400+400+399=1998, tehát minden számot megtaláltunk.

Ezekben az esetekben lesz 2 szám összege 5-tel osztható (maradékkal írom fel):

0+0

1+4

2+3

Vegyük ezt két oszlopnak. Ha az elő oszlopból kihúzzuk az összes számot, akkor következőnek biztosan lesz olyan szám, amit valamelyikhez hozzáadva az összeg osztható lesz 5-tel. Kicsit zavaró, de ha a 0-ból kihúzzuk az összeset, akkor már teljesül a feltétel, így a 0-sból csak 1-et húzhatunk ki, mivel úgy is tekinthetjük, hogy a következő 0-s a második oszlopba tartozik.

Nézzük az 1-2-s maradékos számokból összesen mennyi van:

400+400=800

3-4-s maradékosok:

400+399=799, tehát az előzőből több van.

Tehát ha kihúzzuk az összes 1-es, 2-es maradékosat, és a 0-sból 1-et, akkor következőnek biztosan olyan számot húzunk, hogy valamelyikhez hozzáadva az összeg osztható lesz 5-tel. Vagyis 1+400+400+1=802 szám kihúzása esetén biztosan teljesül a feltétel.