Írjuk fel az ABC háromszög oldalegyeneseinek, oldalfelező merőlegeseinek, magasságvonalainak és súlyvonalainak egyeneseinek egyenletét ha a háromszög csúcsai A (1;2), B (-3;5), C (-1;-4)?

Az A csúcson átmenő egyeneseket felírom; az oldalegyenesből csak az egyiket:

AB egyenes egyenlete:

-kiszámoljuk az AB-> (irányvektort); a B x és y koordinátájából kivonjuk a x és y koordinátáit:

AB->=(-3-1;5-2)=(-4;3)

-ennek a vektornak vegyük a normálvektorát; megcseréljük a két koordinátáját, és az egyiknek az előjelét megváltoztatjuk:

n(AB->)=(3;4) (lehetne (-3;-4) is, de a pozitív számokat jobban szeretjük)

Behelyettesítünk az egyenes egyenlet képletébe:

Jx+Ky=Jx0+Ky0, ahol J és K a normálvektor koordinátái, (direkt írtam másik betűket, hogy ne zavarodj össze), x0 és y0 azon pont koordinátái, amin áthalad az egyenes (ez persze tetszőleges pontra igaz): n(AB->)=(J;K), esetünkben J=3, K=4, kedvtől függően vehetjük vagy az A vagy a B pont koordinátáit, legyen most az A: A(x0;y0), esetünkben x0=1 és y0=2, behelyettesítve:

3x+4y=3*1+4*2=3+8=11, vagyis az egyenes egyenlete 3x+4y=11.

A másik kettőt ugyanígy, érdemes felrajzolni egy vázlatot, hogy lássuk, mi, hova, hogyan.

Magasságvonal: tudjuk, hogy derékszöget zár be a megfelelő oldallal. Ha az A csúcson áthaladót akarjuk kiszámolni, akkor a szemközi oldal irányvektorára van szükségünk:

BC->=(-1-(-3);-4-5);=(2;-9)

Mivel ez a vektor merőleges a kiszámítandó egyenesre, ezért annak az egyenesnek ez lesz a normálvektora (definíció szerint a normálvektor merőleges az irányvektorra és fordítva, tehát egymásnak normálvektorai)

Az egyenes az A ponton megy át, ezért annak a koordinátáit kell használnunk. Behelyettesítünk megint:

2x-9y=2*1-9*2=2-18=-16, tehát az egyenlet: 2x-9y=-16.

A másik kettőt ugyanígy.

Oldalfelező merőleges; mint ahogy azt a neve is mutatja, az oldal felezőpontján megy át. Az A csúccsal szemben a jelölésrendszer szerint az a oldal van, ezért így jelölöm a felezőpontot: Fa. A felezőpont kiszámításánál összeadjuk végpontok (itt B és C) x és y koordinátáit, majd osztjuk 2-vel: Fa=((-3+(-1))/2;(5+(-4))/2)=(-2;1/2)

Ennek az egyenesnek is a normálvektora a BC->=(2;-9) vektor lesz; azt is elmondhatjuk, hogy a magasságvonallal párhuzamos az oldalfelező egyenes. Behelyettesítünk:

2x-9y=2*(-2)-9*1/2=-4-9/2=-4-4,5=-8,5, kedvünk szerint szorozhatunk 2-vel, hogy egész számok legyenek az egyenletben:

4x-18y=17 (persze ezt nem kötelező csinálni, de így azért szebb).

Súlyvonal egyenese: a súlyvonal mindig a csúcsot és a szemközti oldal felezőpontját köti össze, esetünkben az A(1;2) és az Fa(-2;1/2) pontokat. Számoljuk ki ennek az irányvektorát: AFa->=(-2-1;1/2-1)=(-3;-1/2), ennek a normálvektora n(AFa->)=(1/2;-3)

Tetszés szerint vehetjük az A vagy az Fa koordinátáit; legyen megint A(1;2). Behelyettesítünk:

x/2-3y=1/2*1-3*2=0,5-6=-5,5 vagyis x*2-3y=-5,5, megint szorozhatunk 2-vel:

x-6y=-11.

Innen a többit ugyanígy.

Minden érthető? :)

Kár, hogy semmit nem írtál az első, nagyon gondos, részletes válasz után. Remélem megértetted, és azóta meg is oldottad. Az oldalegyeneseket már itt is ellenőrizheted:

[link]

Azóta már minden eredmény ellenőrzésére alkalmas a munkalap:

[link]

A csúcspontok koordinátái beírhatóak, a "Teszt" gomb a te adataiddal dolgozik.