Két darab matematika feladat keresi megoldását?

1. Előszöt számoljuk ki a tégalap átlóját (c) Pitagorasz-tétellel:

c=√(5^2+7^2)=√74=2*√18,5

Vegyük a gúla azon síkmetszetét, ami egy olyan egyenlő szárú háromszög, ahol a háromszög két éle a gúla oldalélei, vagyis 15 dm, alapja a téglalap átlója, vagyis 2*√18,5 dm.

Húzzuk be ennek a háromszögnek a magasságvonalát, ami egybeesik a tes magasságvonalával (M), ez a vonal a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja, ahol a befogók a magasságvonal és az alapjának fele (mivel a magasságvonal felezi az alapot), átfogója a gúla oldaléle, így felírható a Pitagorasz-tétel:

√18,5^2+M^2=15^2

18,5+M^2=225

M^2=206,5, innen M=14,37.

A gúla térfogata: alapterület*magasság=5*7*14,37=502,95 dm^3

Felszínszámításnál a határoló lapok területét kell összeadnunk. Ez a gúla egy téglalapból és 2-2 egyenlő szárú háromszögből áll.

A téglalap területe: 5*7=35 dm^2

Az 5 dm alapú háromszög területe: ehhez ki kell számolnunk a háromszög magasságvonalát (m) (nem összetévesztendő a testmagassággal). Most is behúzva a magasságvonalat kapunk két derékszögű háromszöget, amire felírható a Pitagorasz-tétel:

m^2+2,5^2=15^2

m^2+6,25=225

m^2=218,75, innen m=14,79, így a háromszög területe 5*14,79/2=36,975.

A 7 dm-es alapúnál ugyanez a helyzet:

3,5^2+m^2=15^2

12,25+m^2=225

m^2=212,75, innen m=14,586, így a háromszög területet: 7*14,586/2=51,051

Így a gúla felszíne: 35+2*36,975+2*51,051=211,052 dm^2.

2. Legyen a téglatest 3 éle x;y;z, ekkor x:y:z=16:21:28, ezekből kreáljunk egyenletet:

x/y=16/21, innen y=21x/16

x/z=16/28, innen z=28x/16

Tudjuk, hogy a testátló hossza √(x^2+y^2+z^2)=29, most írjuk be értelemszerűen a számokat:

√(x^2+(21x/16)^2+(28x/16)^2)=29 /négyzetre emelés

x^2+441x^2/256+784x^2/256=841 /*256

256x^2+441x^2+784x^2=215296 /összevonás

1481x^2=215296 /:1481

x^2=145,372, innen x=12,057, ebből kiszámolható a másik két él is:

y=21*12,057/16=15,8248125

z=28*12,057/16=21,09975

Ellenőrzés szerint kijön.

Kedves utolsó válaszoló! Az eredményed valóban megközelíti a megoldást, de a három érték egy egész szám. Én így csináltam:

T1=ab=16x

T2=cb=21x

T3=ac=28x

T1/T2 = ab/cb = a/c = 16/21 => a=16c/21

T1/T3 = ab/ac = b/c = 16/28 => b=16c/28

d=29=√(a^2 + b^2 + c^2)

841 = (16c/21)^2 + (16c/28)^2 + c^2)

841 = 256c^2/441 + 256c^2/784 + c^2

(itt én beszoroztam 345.744-el ami 441*784)

290.770.704 = 200.704c^2 + 112.896c^2 + 345.744c^2

290.770.704 = 659.344c^2

(osztottam 659.344-el)

c^2 = 441

c = +/(-) 21

visszahelyettesítek:

a = 16c/21 = 16*21/21 = 16

b = 16c/28 = 16*21/28 = 12

így kijött hogy

a = 16 cm

b = 12 cm

c = 21 cm