Valaki segítene megoldani az alábbi részfeladatokat (magyarázattal)?

Legyen z = x²

Ezzel másodfokú lesz, oldd meg a megoldóképlettel. Ha negatív a diszkrimináns, akkor irreducibilis. Ha negatív valamelyik z gyök, az x² miatt akkor is irreducibilis..

A gyöktényezős alak az, hogy (x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)(x-x₄). Ha vannak komplex gyökök, akkor ez lesz a komplex gyöktényezős alak. A valós gyöktényezős alak meg olyan, hogy például (x-x₁)(x-x₂)(x²+ax+b) akkor, ha csak 2 valós gyöke van.

Próbáld meg ez alapján megcsinálni. Ha elakadsz, írd meg, meddig jutottál, és segítek.

Idáig jó.

Viszont ez még csak a z, nem pedig az x. Gyököt kell még vonni belőlük. z₁-ből is, ebből lesz x₁ x₂, valamint z₂-ből is, abból lesz az x₃ x₄.

Gyököt vonni pedig ugye akkor lehet könnyen, ha a komplex szám exponenciális alakban van felírva. Szóval írd át:

z₁ = r·e^(i·φ)

z₂ = r·e^(-i·φ)

Ilyen komplex konjugált számok lesznek. Ezekből kell gyököt vonni. A gyökvonás ugye az r-ből √r-et csinál, a φ-ből pedig φ/2-őt. PONTOSABBAN figyelembe kell venni, hogy φ ugyanaz, mint φ+2π, ezért ezekből kell gyököt vonni:

z₁ = r·e^(i·φ + 2kπ)

z₂ = r·e^(-i·φ + 2kπ)

ahol k bármilyen egész lehet, négyzetgyöknél k=0 és k=1 ad majd különböző eredményeket.

Ezeket gondolom tudod, csak emlékeztetőül összefoglaltam. Akkor folytasd a megoldást, írj, mire jutottál.

Jól írtad át az algebrai alakot trigonometrikus alakra (közben leesett, hogy az exponenciális alakot valószínű nem tanultátok még, egyetemen szokták inkább azt használni a trigonometrikus alak helyett).

Igen, ez csak a z₁ volt. De gyököt még nem vontál belőle! És a gyök nem 3·√-1! Ezt nem is értem, miért gondoltad...

Szóval z₁ = 1[cos(2π/3+k·2π)+i·sin(2π/3+k·2π)]

Ennek két gyöke lesz: k=0 valamint k=1 behelyettesítéssel lesz a két gyök, és persze felezni kell a szöget (az 1-es szorzó a gyökben is 1 marad szerencsére):

k=0: x₁ = 1·[cos(π/3) + i·sin(π/3)]

k=1: x₂ = 1·[cos(π/3+π) + i·sin(π/3+π)]

Ha ezeket ábrázolod a komplex síkon, akkor x₁ az első síknegyedbe fog esni (hisz a szög π/3=60°), x₂ pedig a harmadikba (a szög π/3+π = 240°). Az ábrázolást segíti, hogy a hosszuk 1, tehát az egységsugarú körön lesznek.

Akkor most számold ki ugyanezeket z₂-vel is, azokból jön ki az x₃ meg az x₄.

Írd meg, mi lett.

Ezt írtad: r=1 fi=arctg (gyök3)/2/(-1/2)=-pi/3

Ez nem igaz! Nem szabad figyelmen kívül hagyni, hogy mi volt a komplex szám algebrai alakja, melyik síknegyedben volt. Most

z₁ = -1/2 + √3/2 · i

vagyis a komplex szám a bal félsíkon (a valós rész negatív) és a felső félsíkon van (a képzetes rész pozitív), tehát a második síknegyedben. Ahhoz pedig 90°..180° tartozik. Tehát nem -π/3, hanem π-π/3 = 2π/3 az arkusz tangens értéke.

z₂ sem π/3, mert az meg a harmadik síknegyedben kell legyen, hisz a valós és a képzetes rész is negatív.

Ez az 1+2=3 sem tudom, honnan jött? Eleve nem is két számot kellene összeadni, hanem négyet, annyi gyök kell legyen.

A #7-es kérdésed:

-2+2√3·i

Ez bal oldalt (-2) felül (+2√3) van, vagyis a második síknegyedben. Ezt még az arkusz tangens számolás előtt kell eldönteni, mert a tg nem egyértelmű függvény, π-vel periodikus. A síknegyed alapján dől majd el, hogy melyik szög is az, aminek a tangensét tudjuk.

A könyv jó, -60° tangense is -√3, 120° tangense is -√3, ezért arc tg -√3 nem tud különbséget tenni köztük. Kell tudni a síknegyedet, az meg a 120° javára dönt.

Ha jól csináltad a gyökvonásokat, akkor ez jött ki:

z₂-ből: [ z₁ = e^(i·2π/3) ]

x₁ = e^(i·π/3)

x₂ = e^(i·4π/3)

z₂-ből: [ z₂ = e^(i·4π/3) ]

x₃ = e^(i·2π/3)

x₄ = e^(i·5π/3)

Ezeket kell ábrázolni, szépen szimmetrikusan lesznek az egységkörön.

Ezeknek kell a négyzetösszege. Természetesen x₁² = x₂² = z₁ és x₃² = x₄² = z₂, hisz ezekből vontunk négyzetgyököt. Ezért 2·z₁+2·z₂ lesz a négy szám összege. Mivel z₁ és z₂ komplex konjugáltak, ezért az összeg valós lesz. z₁ és z₂ valós rész -1/2 volt, így 4·(-1/2) = -2 lesz a négyzetösszeg.