Algebrai úton, hogyan lehet megoldani ezt a matekfeladatot?

A terület és így a Heron-képlet (!!) nem játszik szerepet a feladatban, mert ha behelyettesíted a hozzáírt kör sugarára vonatkozó képletet a bizonyítandó egyenlőtlenségbe, akkor T-vel végig lehet osztani és ezt kell csak belátni:

a/(s-a)+b/(s-b)+c/(s-c)>=6.

A feladat elején szereplő segítséget a következő módon lehet értelmezni. Ha x,y,z a csúcsokból a beírt körhöz húzható érintőszakaszok hosszai, akkor ismert, hogy

x=s-c,

y=s-b,

z=s-a,

valamint ezek közül kettő-kettő összege kiadja a háromszögoldalak hosszát. Érdemes a feladatot a,b,c helyett x,y,z segítségével átírni:

(x+y)/z + (x+z)/y + (y+z)/x >= 6.

Itt az osztást mindhárom törtnél tagonként el lehet végezni, és átcsoportosítani:

(x/z+z/x)+(y/z+z/y)+(x/y+y/x)>=6.

Ez azonban igaz, hiszen jól ismert, hogy bármely pozitív szám és reciprokának összege >=2, ezért a zárójelekben szereplő számok mindegyike legalább 2.