Hova tart ez a végtelen összeg: sum n=1-től végetelenig (n* (0,4) ^n)?

Amikor az n eléri a 3-at, akkor a hatvány alapja 1,2 lesz. Tehát a harmadik elemtől kezdve a megadott sorozat elemei nagyobbak, mint az 1,2^n sorozat elemei. Ez utóbbi a végtelenbe tart, emiatt a nála nagyobb sorozat is oda tart.

(Ez az rendőr elv- egyik esete.)

Nem jó! Elnéztem!

Amit írtam, az az (n* (0,4)) ^n sorozatra igaz.

Mindjárt írom a jó választ...

Nem tudom, hányadikos vagy, feltételezem, hogy tudod a mértani sor összegét. Most végtelen sok mértani sort fogok felírni. Mivel egymás alatt, táblázatszerűen kellene megjelenni bizonyos hatványoknak, _____ jelekkel fogok igazítani.

0,4^1 + 0,4^2 + 0,4^3 + 0,4^4 + 0,4^5 + ....

________0,4^2 + 0,4^3 + 0,4^4 + 0,4^5 + ....

________________0,4^3 + 0,4^4 + 0,4^5 + ....

________________________0,4^4 + 0,4^5 + ....

________________________________0,4^5 + ....

Ha oszlopokban összeadod ezeket, akkor épp a keresett sorozatot kapod, mert a 0,4^n éppen n-szer lesz.

A fentebbi táblázat sorait összegezve:

Az első sor összege 0,4/(1-0,4)=0,4/0,6

A második sor összege 0,4^2/(1-0,4)=0,4^2/0,6

A harmadik sor összege 0,4^3/(1-0,4)=0,4^3/0,6

stb...

Az összes fentebb leírt táblázatsorok összegei egy újabb mértani sort adnak:

0,4/0,6 + 0,4^2/0,6 + 0,4^3/0,6 + ... =

= (0,4/0,6)/(1-0,4) = 0,4/0,6^2 = 10/9

Ez tehát a keresett sorösszeg.

10/9 lesz a helyes válasz, amit bizonyítani is kellene.

Sz. Gy.

Elrontotta a weblap a gyönyörű igazításomat. Csak a táblázatot újra leírom:

0,4^1 + 0,4^2 + 0,4^3 + 0,4^4 + 0,4^5 + ....

______..0,4^2 + 0,4^3 + 0,4^4 + 0,4^5 + ....

______......____0,4^3 + 0,4^4 + 0,4^5 + ....

______......______......0,4^4 + 0,4^5 + ....

______......______......______..0,4^5 + ....