Egy derékszögű háromszög C csúcsát tükrözzük az AB átfogójára, A C pont képe olyan C' pont, amelyre CC' szakasz hossza egyenlő az átfogó hosszának felével. Hány fokos az ABC legkissebb szöge?

Ha jól számoltam 15°.

Ugyanis:

A c oldalhoz tartozó magasság c/4, így a derékszögű háromszög területe T = c^2/8

A c oldal F felezőpontját összekötve C csúccsal egy olyan egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelynek szárai c/2 hosszúságúak, és területe T/2, azaz c^2/16.

Másrészt a területe (szárakszor a közbezárt szög szinusza per 2)

((c/2)(c/2)sin x)/2 = c^2/8 sin x,

ahol x a szárszög.

A kettőből: c^2/16 = c^2/8 sin x ==> 1/2 = sin x ==> x = 150°

Tehát az alapszög 15°.

Ennek az FBC egyenlőszárú háromszögnek az alapszöge az ABC derékszögű háromszög legkisebb szöge.

a CC' szakasz egybeesik az mc magasságvonallal és annak pont a kétszerese. (mivel a CC' merőleges AB-re, mert így kell tükrözni)

a AB oldal a c oldal. ezért

mc=1/4*c

a háromszög területe:

a*b/2 = mc*c/2

azaz

a*b = 1/4*c*c

mivel derékszügű, ezért a*a + b*b = c*c

az még mindíg három ismeretlen, ami sok, de

a/b=tg(alfa)

1/tg(alfa) = X (így egyszerűbb)

b = a*X

a*b = 1/4*c*c

a*a + b*b = c*c

a*a*X = 1/4*(a*a + a*X*a*X)

a*a*X = 1/4*a*a*(1 + X*X)

a*a-val lehet egyszerűsíteni (mivel bioztosan nem nulla)

X = 1/4 + 1/4*X*X

4*X = 1 + X*X

0 = X*X - 4*X + 1

másodfokú egyenlet megoldó képlet

kijön két X

azaz kijön 2db 1/tg(alfa)

azaz kijön két szög

a kisebbik a válasz a kérdésre, a másik a másik csúcsnál lévő szög (a kettő összege 90 fok, ha nem, akkor valamit elrontottál)

Úgy is meghatározhatod, hogy az AFC egyenlő szárú háromszög területét számolod, mert egyrészt annak a szárai is c/2 hosszúságúak, és területe egyrészt c^2/16, másrészt (c^2/8)sin y, amiből 1/2 = sin y ==> y = 30°

Mivel y az FBC egyenlőszárú háromszögnek szárszögénél levő külső szöge, így az alapszögei 30°/2 = 15°.