Matematika, kombinatorika témakör?! (11. oszt)

1)

Érdemes leírni néhány esetet, abból jöhet az ötlet. Mondjuk a 4,5,6 számokból ezek lesznek:

456

465

546

564

645

654

Ez idáig könnyű. Vedd észre, hogy minden helyiértéken minden számjegy 2-szer szerepel. Vagyis ennek a 6 számnak az összege 2·(4+5+6)·100 + 2·(4+5+6)·10 + 2·(4+5+6), ami rövidebben 222·(4+5+6)

Más hármasokkal is lehet ugyanígy csinálni, mondjuk a 4,6,7-ből lesz 222·(4+6+7).

Az 5 számból (5 alatt 3) módon tudunk hármat kiválasztani. Ez nem olyan sok, csak ez a 10:

4,5,6

4,5,7

4,5,8

4,6,7

4,6,8

4,7,8

5,6,7

5,6,8

5,7,8

6,7,8

Ezek mindegyikével lehet a fenti módon 6 permutációt csinálni, ezek adják az összes lehetséges háromjegyű számot. Az összesnek az összege 222·((4+5+6) + (4+5+7) + (4+5+8) + ... ) lesz. Vagyis össze kellene adni a fenti 30 számjegyet és megszorozni 222-vel. Ha megfigyeled, látod, hogy a 30-ban mindegyik számjegy 6-szor szerepel. Vagyis a teljes összeg egyszerűen adódik:

222·6·(4+5+6+7+8)

Nem csak megfigyelve lehet rájönni erre, lehet "matekosabban" is. Mondjuk ha a 4-et tesszük az első helyre, akkor marad még 4 számjegyünk (5,6,7,8), amikkel 4·3 darab háromjegyű számot csinálhatunk. Ugyancsak 12 olyan szám van, ahol a 4 a tízesek helyén, és ugyanannyi, amikor az egyeseken áll. Ezeknek az összege 4·12·111. A többi számjeggyel is el lehet ugyanezt játszani, vagyis minden szám összege ennyi lesz:

(4+5+6+7+8)·12·111

2)

Mondjuk ilyenek lesznek:

11115

11135

11335

stb. Van belőlük 3·3·3·3·1 darab.

Az utolsó számjegy mindig 5, az nem izgalmas. Mondjuk ha az első helyre 1-et teszünk, vagyis 1xxx5 alakú számokat csinálunk, olyanokból lesz 3·3·3 = 27 féle szám. Ezeknek az 1-eseknek az összege a végső számban 1·27·10000.

Ha máshová tesszük azt az 1-et, akkor is 27-féle szám lesz. Vagyis az 1-eseknek az összértéke 1·27·11110.

A 3 és az 5 is ugyanígy alakul az első 4 helyen. Az összértékük 3·27·11110 és 5·27·11110. Az utolsó helyen lévő 5-öst mind a 81 számban össze kell számolni. A teljes összeg tehát:

(1+3+5)·27·11110 + 5·81