Melyik számoknak van 8db ; 20db és 16db osztója?

Egyéb feltételek híján a feladatoknak végtelen sok megoldása van.

Az ilyen típusú feladat megoldásához egyetlen szabályt kell ismerni:

Egy szám osztóinak számát megkapjuk, ha a törzstényezős felbontásában szereplő prímszámok (p) kitevőinek (a) értékéhez 1-t hozzáadunk, majd az így kapott számokat (a + 1) összeszorozzuk.

Legyen

p1, p2, p3, ... pn - a szám felbontásban szereplő törzstényezői

a1, a2, a3, ... an - a törzstényezők kitevői

akkor a szám

N = (p1^a1)*(p2^a2)*(p3^a3)*...*(pn^an)

A fenti szabály értelmében az N szám osztóinak száma

d(N) = (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)...(an + 1)

Ha az (a + 1) értékeket b-vel jelöljük, akkor

d(N) = b1*b2*b3*...*bn

Ennek ismeretében már neki lehet állni a feladat megoldásához.

Az első példa

d(N) = 8

A d(N) képletének jobb oldala szerint olyan számokat kell keresni, melyek szorzata 8. Ezek a számok (b) a kitevők 1-gyel megnövelt értékei, tehát ha levonunk belőlük 1-et, megkapjuk a szám törzstényezői kitevőjének értékét.

Lássuk, hogy 8 esetén mik a megoldások.

8 felírható többféleképp is

8 = 1*8

8 = 8*1

8 = 2*4

8 = 4*2

8 = 2*2*2

Az első sor értékével

b1*b2 =1*8

(a1 + 1)(a2 + 1) = 1*8

vagyis

a1 + 1 = 1

a2 + 1 = 8

amiből

a1 = 0

a2 = 7

ez azt jelenti, hogy a keresett szám

N = (p1^0)*(p2^7)

Mivel minden szám nulladik hatványa 1, ezért

N = p2^7

Mivel p2 bármilyen prímszám lehet, azt lehet mondani, hogy bármely prímszám hetedik hatványából adódó számnak 8 osztója van.

A harmadik sor esetén

b1*b2 = 2*4

(a1 + 1)(a2 + 1) = 2*4

vagyis

a1 + 1 = 2

a2 + 1 = 4

amiből

a1 = 1

a2 = 3

Az ezekkel felírható szám

N = (p1^1)(p2^3)

ill

N = p1*(p2^3)

A p1 és p2 bármely prímszám lehet.

Az utolsó sor esetén

b1*b2*b3 = 2*2*2

vagyis

a1 = a2 = a3 = 1

így a szám

N = p1*p2*p3

vagyis három prímszám szorzatának 8 osztója van.

Mi van d(N) = 20 esetén?

20 = 1*20

20 = 20*1

20 = 2*10

20 = 10*2

20 = 4*5

20 = 5*4

Az utolsó két esetnél

b1*b2 = 4*5

vagyis

a1 + 1 = 4

a2 + 1 = 5

így

a1 = 3

a2 = 4

A szám

N = (p1^3)(p2^4)

Mivel a kitevők felcserélhetők, az

N = (p1^4)(p2^3)

is megfelel a feltételeknek (mindkettőnek 20 osztója van: 4*5 = 5*4)

Konkrét számokkal

Ha p1 = 2 és p2 = 3, akkor

N1 = 2^3*3^4 = 8*81

N1 = 648

ill

N2 = 2^4*3^3 = 16*27

N2 = 432

Azt hiszem, ezek után érthető a válasz első sorában tett kijelentés: mivel az osztók száma csak a kitevőktől és nem a törzstényezőktől függ, adott osztószámnak végtelen sok szám felelhet meg.

Remélem sikerült segíteni, ha valami nem világos, kérdezz nyugodtan.

DeeDee