Jó matekosok. Segitenetek?

Google a barátod:

A feladat 1996/1997-es Arany Dániel versenypélda:

Az n, k pozitív egészerő tudjuk,hogy n páratlan, k >= 8, az n (tízes számrendszerben) k jegyű,

n-1 osztható 10001-el, továbbá n számjegyeinek összege 6k+3, (n-1)/10001 számjegyeinek összege

3k+1, végül (n-1)/10001-ben található k-6 darab megegyező egymás utáni páratlan számjegy.

Mi lehet a k?

Megolás:

Legyen f(x) := x tízes számrendszerben vett számjegyeinek öszzege.

Ennek az f(x) függvénynek van néhány számunkra fontos tulajdonsága:

f(a+b) <= f(a)+f(b), és akkor egyenlőek, ha a+b összeadásában nincs átvitel

Ha a-hoz egyet adunk akkor egyel nő a számjegyeinek összege is, ha nincs átvitel,

átvitelnél pedig csökken, mert egy 9-esből lesz 0 és a következő számjegy nő egyel,

esetleg ott is lesz átvitel, amire tovább csökken az összeg.

f(10^n*a)=f(a)

Ez annyit jelent, hogy nullákat írhatunk a szám végére, attól a számjegyeinek összege nem változik.

Legyen a := (n-1)/10001, ekkor a feladat szerint f(a) = 3k+1, n = 10001a+1

6k+3 = f(n) = f(10001a + 1) = f(10000a + a + 1) <= f(10000a) + f(a) + f(1) = 2*f(a)+1 = 2*(3k+1)+1 = 6k+3

Láthatjuk, hogy (10000a + a + 1)-ben nincs átvitel az összeadásoknál!

Nem végződhetett 9esre, az a, amit onnan is tudunk hogy n páratlan volt, így a páros lesz. ((n-1)/páratlan)

A 10001-el való osztás a számot 4, vagy öt számjegyel rövidítheti meg (tizedesket nem számítva),

legalább négyell, mert nagyobb, mint 10000, és 10000-ből, 0.9... alkú számot kapunk. Ha azt is feltesszük,

hogy osztható a szám 10001-el akkor egész eredményt kell, hogy kapjnk és így így a 0.9... alakból lesz 1 és az

már csak 4 számjegyel csökkenti az eredményt.

n páratlan, tehát n-1 ugyan annyi jegyű, mint n, ami kjegyű, ezért a k-4 jegyű, tehát k-6 egyforma páratlan

egymás utáni számjegy van a-ban.

A k-6 darab páratlan egymást követő számjegy mellé az a-ban még két számjegyet kell írni, ezek lehetnek az

elején és a végén, vagy mindketten a végén. Az elején nem lehet, mert akor a páratlan lenne.

Legyen x a k-6 darab ismétlődő egymás utáni számjegy:

3k+1-(k-6)x <= 17 kell, hogy legyen ahhoz, hogy ezt a maradék két számjegyet meg tudjam adni.

x := 1 nem ad megoldást

x := 3 sem ad

x >= 5 akkor maximum 6 jegyű lehet az a szám úgy, hogy ne legyen átitel, ehhez az egyenlet se kell.

(ekkor egy általam aottszámjegy és egy x csúszik össze mximum, de még két x nem.)

k-4 <= 6 miatt k <= 10

k := 8-ra a := 7558 jó lesz.

k := 9-re a := 57779

k := 10-re pedig 177772 jó.

Más k-ra bizosan nem lehet megoldást találni, ezekre pedg találtunk ezért k csak 8,9,10 lehet.