Matematika feladat?

A térfogat: V(a,b,c)=a*b*c

Ennek a 3 változós fv-nek keressük a maximumát.

Egy lehetséges mellékfeltétel:

15sqrt(2)=sqrt(a^2+c^2)+sqrt(a^2+b^2)+sqrt(b^2+c^2)

A Lagrans függvény:

L(a,b,c,ß)=a*b*c+ß*(sqrt(a^2+c^2)+sqrt(a^2+b^2)+sqrt(b^2+c^2))-15sqrt(2)

Ennek a gradiense kell, hogy nullvektort adjon:

grad[L(a,b,c,ß)]=0

dL/da=a*c+ß*b/sqrt(a^2+b^2)+ß*b/sqrt(b^2+c^2)=0

dL/db; dL/dc; dL/dß; hasonlóképp számítható...

A négyismeretlenes egyenletrendszer megoldása az, hogy:

a=b=c=5 hosszúságegység. (A test kocka).

Tehát a térfogat maximuma:

Vmax=125 térfogategység.

a,b,c az élek hossza,

ekkor a térfogat V=abc

A lapátlók összege:

√(a²+b²) + √(a²+c²) + √(b²+c²) = 15√2

abc≤ Számtani-mértani közép ≤((a+b+c)/3)³ = ((a+b)/2+(a+c)/2+(b+c)/2)³/27≤ számtani-négyzetes közép

≤ (√((a²+b²)/2) + √((a²+c²)/2) + √((b²+c²)/2))³/27 =

=(√((a²+b²)) + √((a²+c²)) + √((b²+c²)))³/27√2³ =

= 15³√8/27√8 = 125

Mindkét egyenlőtlenség esetén a tagok egyenlősége biztosítja az egyenlőséget, vagyis ha a=b=c=5 akkor pont felveszi ezt az értéket a téglatest.