Hogyan kell bebizonyítani, hogy n páratlan szám és m természetes szám esetén nem lehetséges, hogy 3n^2+2n+2=m^3?

Egy lehetséges megoldás:

n=-11

m=7

3n² + 2n + 2 = m³ esetén m<n lesz amint n>4

jn=1,2,3,4 esetén nyilván nincs megfelelő m.

Ha n > 4 akkor tegyük fel van egy megoldása a fenti egyenletnek,

vagyis

3x²+2x+2-m³ = 0

egyenlet megoldásai közűl legalább az egyik egész és nagyobb mint m.

(-2 + √(4-24 + 12m³))/6 = (-1+√(m³-5))/3

Ha jól látom m osztható 3-mal.

-1+√(m³-5) ≡ 0 (mod 3)

√(m³-5) ≡ 1 (mod 3)

m³ -5 ≡ 1 (mod 3)

m³ ≡ 6 ≡ 0 (mod 3)

Ennek kell páratlan számnak lennie, mondjuk 2k+1-nek.

2k+1 = (-1+√(m³-5))/3

6k+3 = -1 + √(m³-5)

6k+4 = √(m³-5)

36k² + 48k + 16 = m³ - 5

36k² + 48k + 11 = m³

Namost a baloldal nem osztható 3-mal, a jobb oldal meg igen.

Nézd át nem számoltam-e el valahol.

Aztán gondolkodj egy egyszerűbb megoldáson, valószínűleg fogsz találni.