Az 1-től n-ig terjedő természetes számokat 3 csoportba osztjuk úgy, hogy minden csoportban a számok összege egyenlő legyen. Milyen n számok esetén lehetséges ez?

A számok összege n(n+1)/2. Ez hárommal osztható ha n vagy n+1 osztható 3-mal.

A kettőt és a hármat kivéve minden ilyen számsorozatot lehet hármas csoportba osztani.

Nem tudok szép egyszerű bizonyítást, csak egy generáló algoritmust:

- n-től egyesével visszafelé rakjuk be a számokat az első csoportba addig, amíg az összeg éppen nem lesz még nagyobb a harmadnál. Mondjuk u lesz az utolsó berakott szám. A hiányzó különbség legyen k, k<u. Ha ez nem nulla, akkor ezt magát is tegyük ebbe a csoportba.

- A másik csoportba u-1-től kezdve egyesével visszafelé rakjuk be a számokat addig, amíg az összeg éppen nem lesz még nagyobb a harmadnál. Ha az előbb már lerakott k is sorra kerülne, azt persze át kell lépni. Az utolsó lerakott a z. A végén a hiányzó különbség mondjuk j, j<z. Ha j≠k, akkor j-t is ide rakjuk. Ha j=k>1, akkor j-1-et és 1-et rakjuk ide. Ha j=k=1, akkor z helyett z-1-et és 2-t rakjunk ide.

Ez az algoritmus használható akkor, ha a sorozat utolsó száma nem nagyobb, mint az összeg harmada. Vagyis ha n ≤ n(n+1)/6. Tehát ha n ≥ 5.

(És persze n=3m vagy n=3m-1 is kell, mint az elején írtam.)

Azt könnyű belátni, hogy a két csoportba berakott utolsó szám elérhető, hisz 1-től kezdve a sorozatban kell maradjon annyi elem, hogy azok összege k-t és j-t is beszámítva nagyobb, mint a harmad.