(x/2 + y/3 + z/6) ² ≤ x²/2 + y²/3 + z²/6 Ez miért igaz? És mikor egyenlő a két oldal?
válasza:Szátani-Mertani közepes megoldás még nincs.
(x/2) = √(tx/2 * 1/2t) ≤ (1/2)(tx/2 + 1/(2t))
(y/3) = √(ty/3 * 1/3t) ≤ (1/2)(ty/3 + 1/(3t))
(z/6) = √(tz/6 * 1/6t) ≤ (1/2)(tz/6 + 1/(6t))
x/2 + y/3 + z/6 ≤ (1/2)(tx/2 + 1/(2t)) + (1/2)(ty/3 + 1/(3t)) + (1/2)(tz/6 + 1/(6t)) =
=(1/2)(t(x/2+y/3+z/6) + (1/t)(1/2+1/3+1/6)) = ...
Legyen t=√(1/2+1/3+1/6)/√(x/2 + x/3+x/6)
...=(1/2)(√(1/2+1/3+1/6)/√(x/2 + x/3+x/6) *(x/2 + x/3 + z/6) +
+√(x/2 + x/3+x/6)/√(1/2+1/3+1/6) * (1/2+1/3+1/6) )=
=√(x/2+y/3+z/6)√(1/2+1/3+1/6) =
=√(x/2+y/3+z/6)
Tehát:
x/2 + y/3 + z/6 ≤ √(x/2+y/3+z/6)
válasza:egy lényegileg különböző megoldás, amennyiben nem használja bongolo felbontási módszerét. Ez is a számtani-mértani középen alapul:
Legyen
A=x²/2 + y²/3 + z²/6
B=x/2+y/3+z/6
C=1/2 + 1/3 + 1/6 = 1
Ekkor
AC/B² + 1 = AC/B² + C/C =
= (x²C/2B² + 1/2C) + (y²C/3B² + 1/3C) + (z²C/6B² + 1/6C) ≥
≥ 2√(x²C/2B² * 1/2C) + 2√(y²C/3B² * 1/3C) + 2√(z²C/6B² * 1/6C) =
=2√(x²/4B²) + 2√(y²/9B²) + 2√(z²/36B²)=
=2(x/2 + y/3 + z/6)/B = 2
Tehát AC/B² + 1 ≥ 2
AC/B² ≥1
A ≥ B²
x²/2 + y²/3 + z²/6 ≥ (x/2 + y/3 + z/6) ²
válasza:BKRS, sziporkázol :)
Én csak apró javítgatásokat tudok hozzátenni... A #11-ben x,y,z helyett x²,y²,z² kellene, meg a t-ben is x,x,x helyett x²,y²,z²:
|x/2| = √(tx²/2 * 1/2t) ≤ (1/2)(tx²/2 + 1/(2t))
|y/3| = √(ty²/3 * 1/3t) ≤ (1/2)(ty²/3 + 1/(3t))
|z/6| = √(tz²/6 * 1/6t) ≤ (1/2)(tz²/6 + 1/(6t))
|x/2| + |y/3| + |z/6| ≤ (1/2)(tx²/2 + 1/(2t)) + (1/2)(ty²/3 + 1/(3t)) + (1/2)(tz²/6 + 1/(6t)) =
=(1/2)(t(x²/2+y²/3+z²/6) + (1/t)(1/2+1/3+1/6)) = (1/2)((x²/2+y²/3+z²/6)·t + 1/t) = ...
Legyen t=1/√(x²/2 + y ²/3+z²/6)
...=(1/2)( (x²/2 + y²/3 + z²/6)/√(x²/2 + y²/3+z²/6) + √(x²/2 + y²/3+z²/6) )=
=√(x²/2+y²/3+z²/6)
Tehát:
|x/2| + |y/3| + |z/6| ≤ √(x²/2+y²/3+z²/6)
(x/2 + y/3 + z/6)² ≤ (|x/2| + |y/3| + |z/6|)² ≤ x²/2+y²/3+z²/6
Így nem kell pozitívnak lennie x,y,z-nek.
(A Jensen a legjobb ebből a szempontból is, annál nem kell ilyen abszolút értékes variálás. Amit én írtam (Cauchy...), az is a #1-es formájában csak pozitívaknál jó ehhez a feladathoz, de az teljesül négyzetre emelés után is; nem is tudom, miért a gyökös alakot írtam fel.)
A #12 picit leegyszerűsítve (nem kell a C) és kis pontosítással a negatívaknál:
A=x²/2 + y²/3 + z²/6
B=x/2 + y/3 + z/6
A/B² + 1 = A/B² + 1/2 + 1/3 + 1/6 =
= (x²/2B² + 1/2) + (y²/3B² + 1/3) + (z²/6B² + 1/6) ≥
≥ 2√(x²/2B² · 1/2) + 2√(y²/3B² · 1/3) + 2√(z²/6B² · 1/6) =
=2√(x²/4B²) + 2√(y²/9B²) + 2√(z²/36B²)=...
Ha x,y,z pozitívak:
...=2(x/2 + y/3 + z/6)/B = 2
Ha x,y,z lehet negatív is:
...=2(|x|/2 + |y|/3 + |z|/6)/|B| ≥ 2
Tehát A/B² + 1 ≥ 2
A/B² ≥1
A ≥ B²
Ah azt írnám, hogy ha az azonosság nemnegatív x,y,z-re igaz, akkor:
(x/2 + y/3 + z/6) ² ≤ (|x|/2 + |y|/3 + |z|/4 )² ≤ |x|²/2+|y|²/3+ |z|²/6 = x²/2 + y²/3 + z²/6
Akkor ebből következne, hogy elég csak pozitív x,y,z-re bizonyítani,
és akkor mehet akármelyik az eredeti formában?
Illetve a C-s egyszerűsítés az azért egyszerüsít.
Nem akarok telhetetlen lenni, de nem lehetne valahogy deriválni?
f(x,y,z) = (x/2 + y/3 + z/6)² -( x²/2 + y²/3 + z²/6)
Az a kérdés, hogy hol van és mekkora ennek a minimuma.
Nem lehetne ezt valahogy deriválni?
df/dx = 2(x/2 + y/3 + z/6)/2 - 2x/2 = -x/2 + y/3+ z/6
d²f/dx² = -1/2
df/dy = 2(x/2 + y/3 + z/6)/3 - 2y/3 = x/3 -4y/9 + z/9
d²f/dy² = -4/9
df/dz = 2(x/2 + y/3 + z/6)/6 - 2z/6 = x/6 + y/9 - 10z/36
d²f/dz² = -5/36
Továbbá d³f/dxdydz = 0 mindegy milyen sorrendben deriválunk.
Szóval akkor most mi van?
Akkor ez azt jelenti, hogy maximuma van a függvénynek?
Látszik az is, hogy hol?
-x/2 + y/3+ z/6 =0
x/3 -4y/9 + z/9 =0
x/6 + y/9 - 10z/36=0
Ha x=y=z akkor mind ahárom 0.
Mondjuk x= 2y/3+z/3 -at a másik kettőbe behelyettesítek, akkor:
-2y/9 +2z/9=0
8y/36 -8z/36 = 0
Vagyis z=y
és akkor vissza az elsőbe:
x=y=z.
Tehát mindhárom akkor 0 ha x=y=z.
A második deriváltak azok meg mind negatívok, akkor itt igaz, hogy maximum van?
Mert itt a függvény értéke akkor 0 lenne, ami azt jelentené, hogy az egyenlőtlenség úgy igaz ahogy a feladat kéri.
Csak a deriválásban nem vagyok biztos, hogy így jó-e, van rá valami szabály biztos, hogy mikor lehet így megcsinálni. Mintha pont valami ilyesmi kellene:
d²f/dxdy = 1/3 = d²f/dydx
d²f/dxdz = 1/6 = d²f/dzdx
d²f/dydz = 1/9 = d²f/dzdy
A wikipédia sajnos nem segített rajtam.
válasza:A Hesse mátrixnak nézz utána. Az aldeterminánsoknak kell váltott előjelűnek lenniük, hogy maximumot találj.
H = [-1/2, 1/3, 1/6][1/3, -4/9, 1/9][1/6, 1/9, -5/36]
-1/2 < 0
-1/2 * (-4/9) - 1/3 *1/3 = 2/9-1/9 = 1/9 > 0
det(H) = -5/162 + 1/162 + 1/162 + 2/162 + 1/162 + 5/324>0
De ez csak annyit jelent, hogy egyetlen pontban sincs szélsőérték, ami igaz, hiszen "az x=y=z egyenes mentén van a szélsőérték".
Most ezzel mit lehet így csinalni, eleve nem egy pontbankeresem a szélsőértéket hanem egy egyenes mentén.
Még mindíg a deriváláson töröm a fejem.
Ha mondjuk:
x=at + g
y=bt+g
z=ct+g
Akkog
f(t) = (x(t)/2 + y(t)/3 + z(t)/6) ² - x(t)²/2 - y(t)²/3 + z(t)²/6 = (at/2 + bt/3 + ct/6 + g)² - (at+g)²/2 - (bt+g)²/3 - (ct+g)²/6 = a²t²/4 + b²t²/9 + c²t²/36 + abt²/3 + act²/6+ bct²/9 -a²t²/2 - b²t²/3 - c²t²/6 = t²*h ahol
h = (ab/3 + ac/6 +bc/9 - a²/4 - 2b²/9 - 5c²/36)
f(t)-nek vagy minimuma vagy maximuma van t=0-ban attól függően, hogy h pozitív vagy negatív.
Ez gondolom ugyanúgy kezelhető probléma mint az eredeti volt, vagyis nem igazán érdemes deriválgatni, az algebrai kavarást nem lehet megúszni.
Akkor maradok a Jensen-nél, az a legrövidebb. Azért ha valakinek lesz még valami jó ötlete azért még pontozok.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!