(x/2 + y/3 + z/6) ² ≤ x²/2 + y²/3 + z²/6 Ez miért igaz? És mikor egyenlő a két oldal?

Vezessünk be új ismeretleneket:

a = x/√2

b = y/√3

c = z/√6

Ezekkel az egyenlőtlenség ilyen lesz:

(a/√2 + b/√3 + c/√6)²  ≤  a²+b²+c²

A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség miatt tudjuk, hogy:

a·1/√2 + b·1/√3 + c·1/√6 ≤ √(a²+b²+c²)·√(1/2 + 1/3 + 1/6) = √(a²+b²+c²)·√1

Ez pedig pont az, amit bizonyítani kellett.

Egyenlőség a CBS szerint akkor áll fenn, ha x=d/√2, y=d/√3, z=d/√6, ahol d tetszőleges valós szám.

Hm nagyon jó válasz, csak a változatosság érdekében mutatok egy másikat, ami másodfokú függvények zérushelyeire épül:

Legyen

f(t) = (1/√2 + tx/√2)² + (1/√3 + ty/√3)² + (1/√6 + tz/√6)²

Ekkor f(t) nyilván egy másodfokú függvény és nyilván mindenhol nagyobb vagy egyenlő 0-nál. Vagyis a diszkriminánsa ≤ 0.

f(t) = at² + bt + c alakra hozható és D=b²-4ac ≤0.

Számoljuk ki a,b,c-t:

a = 1/2 + 1/3 + 1/6

b = 2x/2 + 2y/3 + 2z/6

c = x²/2 + y²/3 + z²/6

D= 4(x/2 + y/3 + z/4)² - 4(1/2 + 1/3 + 1/6)(x²/2 + y²/3 + z²/6) ≤ 0

(x/2 + y/3 + z/4)² - (1/2 + 1/3 + 1/6)(x²/2 + y²/3 + z²/6) ≤ 0

(x/2 + y/3 + z/4)² ≤ (1/2 + 1/3 + 1/6)(x²/2 + y²/3 + z²/6)

Mivel (1/2 + 1/3 + 1/6)=1

(x/2 + y/3 + z/4)² ≤ x²/2 + y²/3 + z²/6

Egyenlőség nyilván akkor állhat elő, amikor f(t)=0 vagyis

mindhárom négyzetes tagnak 0-nak kell lennie:

t=-1/x, t=-1/y és t=-1/z

amiből

x=y=z.

Egyébként a CBS-t teljesen hasonló "diszkrimináns ≤ 0" módon szokták bizonyítani, mint ahogy BKRS csinálta.

Viszont én jól elrontottam a végét: az egyenlőséghez tényleg x=y=z kell. Amit én írtam, az az a,b,c-re vonatkozó feltétel, nem az x,y,x-re. Bocs...

Ha az ember jobban megnézi nem is kell az egész egynlőtlenség, elég ennyi:

(ab+cd)² ≤ (a²+c²)(b²+d²)

Ez azonnal kijön ha felbontod a zárójelet és jobb oldalra rendezel, négy tag kiesik a maradék meg pont teljes négyzet lesz: 0 ≤ (ad - cb)²

Legyen:

a=x/√2

b=1/√2

c=y/√3

d=1/√3

Ekkor:

x/2 + y/3 + z/4 ≤ √(x²/2 + y²/3) * √(1/2 + 1/3) + z/6

Legyen most:

a=√(x²/2 + y²/3)

b=√(1/2 + 1/3)

c=z/√6

d=1/√6

Ekkor:

√(x²/2 + y²/3) * √(1/2 + 1/3) + z/6 ≤ √(x²/2 + y²/3 + z²/6) * √(1/2 + 1/3 + 1/6) =√(x²/2 + y²/3 + z²/6)

Vagyis:

x/2 + y/3 + z/4 ≤ √(x²/2 + y²/3 + z²/6)

És akkor ezen az úton nyilván van egy indukciós bizonyítása is a Cauchy egyenlőtlenségnek.

Na és akkor itt egy geometriai gondolatmenet, ami csak a háromszög egyenlőtlenségre épül.

A változók szétválasztása továbbra is az amit bongoló írt.

Valójában ez a szétválasztás az ötlet, utána már sokféle módon lehet bizonyítani.

Legyen a következő vektorok:

a = (x/√2, y/√3, z/√6)

b = (1/√2, 1/√3, 1/√6)

<ab> = x/2 + y/3 + z/6

|a| = √(x²/2 + y²/3 + z²/6)

|b| = 1

A háromszög egyenlőtlenség miatt:

|a+|a|*b| ≤ |a| + ||a|*b|

|a+|a|*b|² ≤ |a|² + ||a|*b|² + 2 |a|*||a|*b|

|a|² + |a|²|b|² + 2|a|<ab> ≤ |a|² + |a|²|b|² + 2|a|²|b|

|a|<ab> ≤ |a|²|b|

<ab> ≤ |a|

x/2 + y/3 + z/6 ≤ √(x²/2 + y²/3 + z²/6)

És akkor egy szögfüggvényes skaláris szorzatos bizonyítás:

Legyen a következő vektorok:

a = (x/√2, y/√3, z/√6)

b = (1/√2, 1/√3, 1/√6)

<ab> = x/2 + y/3 + z/6

|a| = √(x²/2 + y²/3 + z²/6)

|b| = 1

Legyen az a és b közrezárt szöge α.

Ekkor a skaláris szorzatról tudjuk, hogy:

<ab> = |a|*|b|*cos(α) ≤|a|*|b|

Tehát:

x/2 + y/3 + z/6 ≤ √(x²/2 + y²/3 + z²/6)

Még annyit hangsúlyoznék, hogy bár a megoldás menete minden egyes alkalommal más, a lenyeg az első megoldásban van:

"Vezessünk be új ismeretleneket:

a = x/√2

b = y/√3

c = z/√6 "

Na még egyet hátha így is megy:

0≤ (x/2 -x/2)² + (x/√6 - y/√6)² + (x/√12 - z/√12)² +(y/√6 - x/√6)² + (y/3 - y/3)² + (y/√18 - z/√18)² + (z/√12 - x/√12)² + (z/√18 - y/√18)² + (z/6 - z/6)² =

=x²/2 -2x²/4 + x²/2 + x²/6 - 2xy/6 + y²/6 + x²/12 -2xz/12 + z²/12 + y²/6 - 2xy/6 + x²/6 + y²/3 - 2y²/3 + y²/3 + y²/18 -2yz/18 + z²/18 +z²/12 - 2zx/12 + x²/12 + z²/18 - 2zy/18 + y²/18 + z²/6 -2z²/6 + z²/6 =

=2(x²/2 + y²/3+ z²/6)(1/2+1/3+1/6) -2(x/2+y/3+z/6)² =

=2[ (x²/2 + y²/3+ z²/6) - (x/2+y/3+z/6)² ]

vagyis

(x²/2 + y²/3+ z²/6) ≥ (x/2+y/3+z/6)²

és tényleg kijött.

Visszafelé is lehetett volna számolni, csak az egy oldalra rendezés után meg kell szorozni 2-vel, aztán meglehetősen ügyesen kellene szét osztani a tagokat, nem csak pozitivakat egyik szorzatba, negatívakat a másikba.

Na még egy ötlet:

(x/2+ y/3)² - (x²/2 + y²/3)(1/2 + 1/3) = xy/3 - x²/6 - y²/6 = -(x/√6 - y/√6)² ≤ 0

(x/2 + y/3 + z/6) ² - (x²/2 + y²/3 + z²/6) - (x/2+ y/3)² + (x²/2 + y²/3)(1/2 + 1/3) = 2zx/12 + 2zy/18 + z²/36 - x²/12 - y²/18 - z²/6 = -(x/√12 - z/√12)² - (y/√18 - z/√18)² - (z/6 -z/6)² ≤ 0

Vagyis:

(x/2 + y/3 + z/6) ² - (x²/2 + y²/3 + z²/6) ≤ (x/2+ y/3)² - (x²/2 + y²/3)(1/2 + 1/3) ≤ 0

Vagyis:

(x/2 + y/3 + z/6) ² ≤ x²/2 + y²/3 + z²/6

Szóval van egy monotonitása a dolognak.

Kell lennie egy Jensen egyenlőtlenséges megoldásnak is.

Mondjuk az x² függvényt tekintve, mivel az konvex a valós számok felett, ezért a Jensen egyenlőtlenség szerint:

(ax+by+cz)² ≤ ax²+by²+cz² ha a+b+c=1

Mit tesz isten, 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.

Ezzel a bizonyítás kész is.