Egyenlőtlenségeket számegyenesen hogyan kell megoldani? (4x-3) / (3x+1) >=0 ÉS (x-5) / (x+2) <=0 ÉS (3x+7) * (x-5) <=0 ÉS (x-1) (x+2) <0

Egy tört vagy egy szorzat akkor pozitív, ha mindkét kifejezés azonos előjelű. Mindkettő pozitív, vagy mindkettő negatív.

Máshogy fogalmazva: Ha páros darab negatív van benne (0, 2, 4, stb), akkor pozitív, ha pedig páratlan darab (1, 3, stb.), akkor negatív. Ez a megfogalmazás azért jobb, mert egyrészt nem csak 2 kifejezés szorzatára illetve hányadosára jó, másrészt 2 kifejezés esetén is kényelmesebben lehet megtalálni, hogy hol milyen az előjel.

Szóval ábrázolni kell, hogy az egyes kifejezések hol pozitívak és hol negatívak, aztán megnézni, hogy melyek azok a tartományok, ahol pont megfelelő számú (vagyis páros vagy páratlan darab) lesz belőlük negatív.

A számegyenes felett húzz annyi vízszintes vonalat, ahány tényező van a kifejezésben. Most ez 2.

Az első lesz a 4x-3 egyenese. Ezt az egyenest úgy kezdjed csinálni, hogy mivel x=3/4 esetén lesz nulla, rajzolj a leendő egyenes helyén 3/4-nél egy tömör karikát. x>3/4 esetén lesz a tényező pozitív, úgyhogy a karikától jobbra lévő részt húzd ki egy folytonos vonallal, a tőle balra lévő részt meg szaggatott vonallal.

A másik egyenes fog a 3x+1-hez tartozni. Ez x=-1/3 esetén nulla. Mivel ez a tényező a nevezőben van, most üres karikát rajzolj a leendő egyenesre -1/3-nál. x>-1/3 esetén pozitív a tényező, ezért a karikától jobbra húzd ki az egyenest folytonos vonallal, balra pedig szaggatottal.

Ezt kellene csinálni tovább is, ha több tényezőből állna a kifejezés...

Na most ahol üres karika van, ott nincs értelmezve, azt le kell írni külön. Ahol teli karika van, ott nulla az értéke. Ha az egyenlőtlenség megengedi az egyenlőt is, akkor ez is jó x lesz. Aztán ha az egyenlőtlenségben >0 van, akkor azokat a részeket kell megtalálni, ahol páros darab szaggatott vonal van egymás fölött (a nulla is páros!). Ha meg <0 volt az egyenlőtlenségben, akkor a páratlan szaggatott rész lesz a keresett intervallum.

Ha ezeket az egyeneseket a számegyenes fölé rajzoltad, akkor a számegyenesen kihúzhatod vastagon (vagy más színnel), hogy melyik részek fölött lesz pont megfelelő számú szaggatott vonal. A szélén üres karikát rajzolj, ha fölötte is van valahol üres karika, illetve akkor is üres karika lesz a széleken, ha =0 nincs benne az egyenlőtlenségben. Ha megengedett az =0 is, és a számegyenes felett valahol tömör karika van, akkor a számegyenesre is tömör karikát kell rajzolni.

A végén a számegyenesen lesz egy vagy több kihúzott rész (intervallum). Ha egyetlen egy van, aminek egyik vége se megy el a plusz vagy mínusz végtelenig, akkor a<x<b módon lehet "leolvasni" az intervallumot. Ha valamelyik kihúzott rész a végtelenig megy, akkor a<x vagy x<b lesz a leolvasás. Ha több egymástól független intervallumot is kihúztál, akkor több ilyennek az uniója lesz a válasz.

Szólj, ha valahol elakadsz.