Matematika feladat megoldás levezetése?

2576) Rajzolsz egy kört, behúzol benne egy húrt, erről tudjuk, hogy 12,6 cm magas. Ha a húr végpontjait összekötöd a kör középpontjával, akkor egy olyan egyenlő szárú háromszöget kapsz, aminek az alapja a húr, szárai a kör sugarai. A középponti szöget nevezzük el alfának. Húzzuk be a háromszög alaphoz tartozó magasságát, ekkor két derékszögű háromszöget kapunk. Nézzük az egyik derékszögű háromszöget; itt az egyik befogó a húr fele (mivel egyenlő szárú háromszög esetén az alaphoz tartozó magasságvonal felezi az alapot), ami 6,3 cm, másik befogó a magasság, átfogója a kör sugara, ami 9,5 cm. A 6,3 centis oldallal szemben alfa/2 szög van (mivel a magasság a szöget is felezi), erre a derékszögű háromszögre felírható a szinusz alapfüggvény: sin(alfa/2)=3,6/9,5=0,3789, számológépből vagy függvénytáblából alfa/2=22,27°, ebből alfa=44,54°. Tudjuk, hogy a középponti szög kétszerese a kerületi szögnek, ezért 22,27°-os kerületi szög tartozik hozzá. De ez csak az egyik; minden húr két körszeletre osztja a kört, és igazából nem a húrhoz, hanem a körszeletekhez tartozik középponti szög. Tudjuk, hogy a két körszelet középponti szögeinek összege 360°, ezért a másik húr középponti szöge 360°-44,54°=315,46°, ennek a fele lesz a másik kerületi szög, vagyis 157,73°.

2550) Felosztjuk a tízszög területét 10 egyenlő szárú háromszögre úgy, hogy a csúcsokat összekötjük a forgásközépponttal. A forgásközéppontnál 36°-os szög van, mivel az ott lévő szögek 360°-ot adnak ki, és 10 egyenlő részre van felosztva. Ugyanúgy, mint az előző feladatban, felosztjuk az egyik háromszöget két derékszögű háromszögre; itt a derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm, ezzel az oldallal szemközti szöge 18°-os, másik befogója az egyenlő szárú háromszög magasságvonala. Mivel a magasságot akarjuk megtudni, és a magasság, valamint a 4 centis oldal befogó, ezért tangenssel számolunk: tg(18°)=4/m, ebből m=4/tg(18°)=4/0,3249=12,3115. A tízszög területét megkapjuk, ha kiszámoljuk egy egyenlő szárú háromszög területét, és beszorozzuk annyival, ahányan vannak, tehát tízzel. Egy egyenlő szárú háromszög területe: 8*12,3115=98,492, ezt szorozzuk 10-zel, így 984,92 négyzetcentiméter a területe.

2488) Alapfeladat. Tudjuk a derékszögű háromszög egyik befogóját és az azzal szemközti szöget. A háromszög átfogója az emelkedő (c), ezt szinusszal számolhatjuk: sin(24°)=1,8/c, ebből c=1,8/sin(24°)=1,8/0,4067=4,4259. Másik oldalát (b) Pitagorasz-tétellel (is) számolhatjuk: 1,8^2+b^2=4,4259^2, ebből b^2=16,34859081, amire b=4,04334 cm.