Valaki megtudná oldani ezt a valószínűségszámításos feladatot?

Normális eloszlású. Az ilyen feladatokat úgy lehet megoldani, hogy minden értéket átkonvertálunk standard normális eloszlássá (standardizáljuk), és a Φ táblázatot lehet használni, hogy a valószínűségeket megtudjuk.

A normális eloszlásnak két paramétere van: µ és σ. Most csak a várható értéket tudjuk:

µ = 300

Az ilyen eloszlású változó valamely X értékét így lehet standardizálni:

Z = (X-µ)/σ

x₁ = 297 → z₁ = (297-300)/σ = -3/σ

x₂ = 304 → z₂ = (304-300)/σ =  4/σ

A szórást nem tudjuk. Tudjuk viszont, hogy a lécek 6,7%-a rövidebb 297-nél, az azt jelenti,. hogy P(X<297) = 0,067

Ezt használjuk arra, hogy kiderítsük, mennyi a szórás (σ).

Standardizálás után a valószínűség marad ugyanaz: P(Z < z₁) = 0,067

A Φ táblázatból meg lehet tudni, hogy milyen z₁ értéknél lesz pont ennyi ez a valószínűség: Φ(z₁) = 0,067

Na most van egy kis gond: A Φ táblázatban csak 0,5-nél nagyobb értékek vannak, 0,067 nincs benne. z=0-hoz tartozik a Φ(0)=0,5-ös érték, pozitív z-khez pedig a 0,5-nél nagyobbak. Negatív z-khez tartoznának a 0,5-nél kisebbek, a 0,067 is.

Az eloszlás göbéje (haranggörbe, Gauss görbe) szimmetrikus, ezért az egyik oldalából rá lehet jönni a másikra is:

Φ(-z) = 1 - Φ(z)

Máshogy nézve: 0,067 = P(Z<x₁) = P(Z > x₁*)

Érdemes felrajzolni a Gauss görbét és besatírozni a bal szélen ezt a 6,7%-nyi területet. A görbe x₁-től balra lévő része alatti területe ez a 6,7%. A görbe jobb szélén ugyanekkora terület az x₁*-tól jobbra lévő görberész alatti terület, ahol x₁ és x₁* ugyanolyan abszolút értékű szám, x₁ negatív, x₁* pedig pozitív.

A Φ táblázat a P(Z<x₁*) valószínűséget tartalmazza, de nekünk most a fordítottja van meg: 0,067 = P(Z>z₁*)

Mivel a görbe alatti teljes terület éppen 1, ezért P(Z<z₁*) = 1 - 0,067 = 0,933

Vagyis ha a táblázatban megkeressük azt, hogy milyen z₁* értékhez tartozik a 0,933-as valószínűség, akkor z₁*=1,5 lesz.

Ez pedig azt jelenti, hogy z₁ = -1,5

Ez a hosszú körítés csak azért kellett, hogy kijöjjön: z₁ = -1,5 = -3/σ, amiből, már meg is tudtuk a szórást:

σ = 2

Most már ki tudjuk számolni x₂ standardizáltját: z₂ = 4/σ = 2

A táblázatból: Φ(2) = 0,977, vagyis P(Z>z₂) = 0,977

A standardizálatlannak is ugyanennyi a valószínűsége: P(X>x₂=304) = 0,977

Ez volt a kérdés.