Algebrai kérdésben kellene ötlet (? ).

Az

a(a^2+p)=b(b^2+p)

összefüggésből

a^3+ap=b^3+bp,

a^3-b^3=p(b-a)

p=-(a^2+ab+b^2).

Hasonlóan, az

a(a^2+p)=c(c^2+p)

összefüggésből

p=-(a^2+ac+c^2).

Tehát

a^2+ab+b^2=a^2+ac+c^2,

b^2-c^2=a(c-b),

a=-(b+c),

azaz

a+b+c=0

valóban teljesül.

A megfordítás nem igaz: pl. a=b=1,c=-2 esetén p-re olyan másodfokú egyenletet kapunk, aminek a diszkriminánsa negatív.

Egy kicsit más megközelítésben:

Gondolj az y=x³+px görbére.

Mondjuk nézd meg pl az y = x³-3x görbét: [link]

A lokális minimum és maximum közt húzz egy vízszintes vonalat.

Ahol ez metszi a görbét az pont jó lesz a,b,c-nek.

Na akkor ennek a szellemében haladva legyen:

d = a(a²+p)

Tekintsük az y=(x-a)(x-b)(x-c) görbét.

Ez az a,b,c helyeken pont a p értéket fogja felvenni.

szEtbontva így fog kinézni:

y = x³ + (a+b+c)x² + alacsonyabb rendű tagok.

Ugyanakkor tudjuk, hogy az a,b,c az gyöke a következő harmadfokú egyenletnek:

y= x³ + px - d

Mindkét polinom főpolinom, ugyanazok a gyökei, tehát ugyanazok lesznek az együtthatói.

A másodikban az x² együtthatója 0,

tehát akkor az elsőben is annak kell lennie:

a+b+c = 0.

Nézzük a tétel fordítottját:

Legyen a,b,c páronként különböző valós szám, és a+b+c = 0

Ekkor az f(x) = (x-a)(x-b(x-c) + d polinom másodfokú tagjának az együtthatója (a+b+c) = 0 vagyis f(x) = x³ + px + q alakú.

Továbbá az is látszik, hogy f(a)=f(b)=f(c) = d

Ha z∈{a,b,c} akkor:

f(z) = z²(z+p) +q =d

vagyis z²(z+p) = d-q

Vagyis a(a²+p) = b(b²+p) = c(c²+p)

Tehát a tétel megfordítása is igaz.

Első vagyok, és bocs, látom, hogy hol írtam el a megfordítást. Valóban igaz.

Az első megoldásban látott módszerrel is kijön, ha nem jut eszünkbe a fenti ötlet.

Ugyanis az első megoldás minden lépése lényegében megfordítható.

Ha a+b+c=0, akkor

a=-(b+c).

Mindkét oldalt megszorozhatjuk (c-b)-vel, mert a feltétel szerint nem 0:

b^2-c^2=a(c-b).

Innen

a^2+ab+b^2=a^2+ac+c^2,

ezért behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy

p=-(a^2+ac+c^2)

megoldja az egyenletet.