Matek. Valaki érti ezeket a feladatokat?

1.)

A terület: T=(a∙b∙sin γ)/2, ahol a és b a két oldal, γ a közbezárt szög.

sin γ-t kifejezve: sin γ=(2T)/(a∙b)=(2∙14,5)/(5∙7)=29/35.

Az egyik megoldás a γ≈55,95° (számológéppel).

A másik megoldáshoz azt kell meggondolni, hogy sin α=sin(180°-α) igaz tetszőleges α szögre. Ez a trigonometrikus egységkör felrajzolásával belátható.

Ennek a alapján a másik megoldás: γ≈180°-55,95°=124,05°.

2.)

a)

A koszinusz függvény periódusa 360°, tehát (definíció szerint):

cos α=cos(α+k∙360°), ahol α tetszőleges, k tetszőleges egész.

Legyen k=-1! Ekkor:

cos 352°=cos(352°-360°)=cos(-8°)

A koszinusz függvény páros függvény, tehát (ismét csak definíció szerint):

cos(-α)=cos α, ahol α tetszőleges.

Tehát:

cos(-8°)=cos 8°

b)

Ugyanúgy kell gondolkodni mint az előbb, csak a tangens periódusa nem 360°, hanem 180°, így:

tg α=tg(α+k∙180°), ahol α tetszőleges, k tetszőleges egész.

Legyen most k=3! Tehát:

tg(-520°)=tg(-520°+3∙180°)=tg 20°

c)

Itt is az előző gondolatmenet vezet eredményre, a szinusz periódusa 360°, tehát:

sin α=sin(α+k∙360°), ahol α tetszőleges, k tetszőleges egész.

Legyen ezúttal k=-2! Így:

sin 855°=sin(855°-2∙360°)=sin 135°

Mivel az 1. feladatban leírtak szerint:

sin α=sin(180°-α), ezért:

sin(180°-135°)=sin 45°

3.) Igaz, vagy hamis? Az indokláshoz készítsen ábrát!

a) Ha 90°<ß<180°, akkor cosß <0.

b) Ha 180° <ß< < 270°, akkor sin ß < 0.

c) Negatív forgásszög koszinusza is negatív.

d) A tangens szögfüggvény periódusa 180°.

3.)

Az indoklásokoz érdemes a trigonometrikus egységkört felrajzolni.

a)

Igaz. Ha a szög 90° és 180° között van, akkor a koordinátarendszer II. síknegyedében vagyunk, ahol az első (vízszintes) koordináta negatív, ami pont a szög koszinuszával egyezik meg.

b)

Igaz. Most a szög 180° és 270° közötti, ami a koordinátarendszer III. síknegyedét jelenti. Itt a második (függőleges koordináta) – ami definíció szerint a szög szinusza is – negatív.

c)

Hamis. A negatív forgásszög csak azt jelenti, hogy az óramutató járásával megegyezően kezdjük mérni a szöget. Viszont már az elején, a IV. síknegyedben, ahol a szög 0° és -90° között van látjuk, hogy az első koordináta, vagyis a koszinusz pozitív, így az állítás hamis.

d)

Igaz. Ha meghúzzuk az egységkör (1;0) pontbeli érintőjét, látszik, hogy egy szöghöz tartozó egységvektort ha akárhányszor tükrözünk az origóra, azaz akárhányszor 180°-kal (vagy -180°-kal) elforgatunk, az nincs hatással arra az egyenesre, amin az egységvektor átmegy. Márpedig egy szög tangense az adott szögű egységvektor egyenesének az egységkör (1;0) pontbeli érintőjével való metszéspontjának 2. (függőleges) koordinátája. Mivel az egyenes a forgatásokkal nem változik, a koordináta, azaz a tangens sem, tehát a periódus valóban 180°.