Nyolc piros és nyolc zöld szinü egybevágó kiskockából kiválasztunk nyolcat, és ezekből egy nagy kockát rakunk össze. Hány féle különböző szinezésü nagy kockát kaphatunk? (Két nagy kocka különböző, ha forgatással nem vihetők át egymásba)?

Mivel 8 kis kockából van összerakva a nagy, és éppen 8 kocka van mindkét színből, a szimmetriáktól eltekintve összesen 2^8 variáció lehet.

A szimmetriákat a Burnside tétellel lehet figyelembe venni. Gondolom tanultátok.

A kockának 24-féle szimmetriája van, amik 5 különböző cikluscsoportba tartoznak. Szedjük össze mindet: (tarts magad előtt egy kockát, és forgassad, mert elég nehéz a nélkül térben látni).

- egységelem (vagyis nincs forgatva semmi), ilyenből 1 van. Ekkor minden kis kocka a többitől független színű lehet, 2^8 lehetőség. (1·2⁸)

- szemközti lapközepeket összetkötjük, úgy van a forgástengely. Ez 3 tengely. ±90° forgatás, tehát összesen 6-féle szimmetria. Ekkor a felső sor kockái a szomszédba mennek át, azok az ő szomszédjukba, stb, vagyis mind a 4-nek azonos színűnek kell lennie ahhoz, hogy a forgatás ellenére ugyanazt a színezést lássuk. Ugyanez igaz az alsó 4 kockára is. Vagyis 2 darab kockacsoport van, 2² lehetőség. (összes tengellyel 6·2²)

- ugyanaz a 3 lapközép-tengely, de 180°-os forgatás: egy kis kocka a lapátló mentén megy át a szemköztibe, az meg vissza. Egy kockacsoport tehát 2 kockát tartalmaz, ennek a kettönek azonos színűnek kell lennie. 4 ilyen csoport van, tehát 2⁴ lehetőség. (összes tengellyel 3·2⁴)

- élközép-tengely: két legtávolabbi szemközti él közepét összekötő egyenes a forgástengely. Ilyenből 6 van. 180°-os rotálás. A tengely végeinél lévő 2-2 kocka egymással cserél helyet, a másik 2-2 kocka a testátló mentén cserél helyet, vagyis 4 csoport van. 2⁴ lehetőség (összesen 6·2⁴)

- tastátló a tengely (vagyis a két legtávolabbi csúcsot összekötő egyenes), ilyenből 4 van. ±120°-os forgatás, vagyis 8-féle szimmetria. A tengelyek végeinél lévő 1-1 kocka önmaga marad, az egyikkel szomszédos 3 egymásba megy át, a másikkal szomszédos 3 szintén. Vagyis 4 csoport van. 2⁴ lehetőség (összesen 8·2⁴).

A Burnside tétel szerint az összes lehetőségek száma:

1/24 · (2⁸ + 6·2² + 3·2⁴ + 6·2⁴ + 8·2⁴) = 23

Számold át, lehet, hogy nem jól láttam valamit a térben...