Tudnatok egy elemi szamelmeleti kerdest igazolni?

Az könnyen belátható, hogy a 4k-1 alakú szám az vagy prím, vagy ha összetett szám, akkor (4m-1)(4n+1) alakú. (Ha 4m vagy 4m+2 lenne benne, akkor ugyanis páros lenne.)

Vagyis a 4k-1 alakú összetett szám osztókhoz hozzárendelhető az ő 4n+1 alakú osztójuk, azokkal nincs gond. Ssak a prímeket kell nézni.

Ha egyetlen prím van, akkor az 1 = 4·0+1 rendelhető hozzá.

Ha kettő is van: 4k-1 és 4m-1, akkor ezek szorzata is osztója a számnak, az pedig 4(4km-k-m)+1 alakú. A másik itt is lehet az 1=4·0+1.

Ha több prím osztója van, mondjuk n>2 darab, akkor lehet ezekből (n alatt 2) ≥ n párt alkotni, amik szorzatai 4k+1 alakúak és persze mind osztói a számnak.

Még az az eset is kell, hogy egy prím osztó többszörös osztó (vagyis az n-edik hatványon van). Ekkor p·p, p·p², p·p³ ... p·p^(n-1) párokat lehet csinálni, meg ott van még az 1=4·0+1.

... de ez így kezd túl sokféle eset lenni, valószínű van egy huszárvágás, ami egyben kezeli őket...

Hmm, ha elemi számelmélet, akkor lehet hogy már tanultátok, hogy egy szám hány féle különböző módon írható fel két négyzetszám összegére. Ha jól emlékszem a tétel azt mondja ki, hogy 4-szer annyi féle képpen mint amennyivel több 4k-1 alakú osztója van mint 4k+3 alakú. Ez legalább 0.

Nem csodálkoznék, ha ezt a tételt bizonyítottátok volna a legutóbbi gyakorlaton vagy órán és itt ennek az alkalmazását várná a tanerő.