Egy szampar, szamtani kozepe 8 es mertani kozepe 4.8. Melyik ez a szampar?

(a+b)/2=8

gyök(a*b)=4,8

Kétismeretlenes egyenletrendszer, ezt kell megoldani a két számra.

Hol akadtál el?

Képzeld el Magad elé a számegyenest. Mondjunk két számot, olyat, amelyeknek ismerjük a számtani közepét! Mondjuk az 1 és az 5, annak a számtani közepe a 3. (Egyes és ötös után hármasra állunk). Most ha ezeket megrajzolnánk a számegyenesen, akkor láthatjuk, hogy a 3 éppen az 1 és az 5 között van félúton (az egyes éppen 2-vel kisebb a 3-nál, az 5-ös meg épp 2-vel nagyobb a 3-asnál, vagyis a 3 épp ,,középen áll'' az 1 és az 5 között). Az 1 az éppen 3-2, az 5 az éppen 3+2, úgy is képzelhetem, hogy a 3 az valami középpont, amitől ,,balra és jobbra'' ,,ugyanakkora távolságra'' áll az 1 és az 5.

Most ezt a szemléletet alkalmazhatjuk a feladatra is.

Vagyis, ha tudom, hogy két szám számtani közepe a 8, akkor biztos lehetek abban, hogy a 8 az éppen középen van a két szám között. Tehát ha mondjuk a két keresett szám közül a nagyobbik az valamilyen 8 + x, akkor a kisebbik számnak pedig 8 - x nek kell lennie. Mert épp így lehet a 8 középen.

A feladatot tehát így is megfogalmazhatnánk:

Van egy 8 - x és egy 8 + x számunk. Tudjuk, hogy (8 + x) számnak és a (8 - x) számnak a mértani közepe 4,8. Mi lehet ez a két szám?

A feladatot úgy oldjuk meg, hogy kikövetkeztetjük, mennyi lehet az x, és abból már könnyen ki tudjuk számolni a két keresett számot. Mondjuk ha az x-re majd 6,4 jönne ki, akkor ebből máris tudnánk, hogy az egyik keresett szám a 8 - 6,4, vagyis a 1,6, a másik keresett szám pedig a 8 + 6,4, vagyis az 1,6.

Persze még nem számoltuk ki x-et, nézzük, hogy lehet ezt megtenni. Egyelőre még csak ott tartottunk, hogy

(8 - x) szám és (8 + x) szám mértani közepe = 4,8

Ezt az alábbi egyenlet írja le:

(8 - x)(8 + x) = 4,8²

ebből kéne kikövetkezteni valahogy x-et:

(8 - x)(8 + x) = 4,8²

(8 -x)(8 + x) = 23,04

Van egy azonosság, amit az (8 - x)(8 + x) kifejezésre alkalmazni lehet: (8 - x)(8 + x) az éppen 8² - x². Tehát az egyenletet úgy is átírhatjuk, hogy

8² - x² = 23,04

64 - x² = 23,04

x² = 64 - 23,04

x² = 40,96

x lehet 40,96 négyzetgyöke, vagy lehet 40,96 négyzetgyökének ellentetje. Most nézzük csak az első esetet: x = 6,4. (nézhetnénk még az x-re kijövő másik esetet is, de akkor is ugyanaz a megoldás jönne ki, csak épp fordított ,szereposztással'')

A két keresett szám:

egyik: 8 - 6,4 vagyis 1,6

másik: 8 + 6,4 vagyis 14,4

Ellenőrzés:

A 8 éppen ,,középen'' a két szám között van, tehát a 8 tényleg éppen a számtani közepe a két számnak.

A két szám mértani közepét szintén ellenőrizhetjük: 14,4 * 1,6 = 40,96, ez tényleg éppen a 4,8-nak a négyzete.