Hogy lehet ezt a vegtelen sort kiszamolni?

(k-1)! + k! + (k+1)! = (k-1)!·(1 + k + k(k+1)) = (k-1)!·(k+1)²

(k+1)/((k-1)!·(k+1)²) = 1/((k-1)!·(k+1)) = k/(k+1)!

  ∞

  Σ k/(k+1)!

k=1

Ez ugyanannyi, mint

  ∞

  Σ (k-1)/k!

k=2

de mehet k=1-től is a szumma, hisz k=1 esetén nulla a tört értéke. Használjuk azt.

Két szummaként felírva pedig:

  Σk/k! - Σ1/k!

Tudjuk, hogy Σ1/k! = e akkor, ha k=0-tól megy a szumma a végtelenig. Ha 1-től indul, akkor e-1.

Σk/k! = Σ1/(k-1)!, ez pedig éppen = e

Tehát a feladat megoldása e-(e-1) = 1

Az előzőhöz annyit tennék hozzá,

hogy a sor nyilván abszolut konvergens mivel 1/k² alatt van, ezért nyugodtan darabolható:

k/(k+1)! = ((k+1)-1)/(k+1)! = 1/k! - 1/(k+1)!

Vagyis

∞

Σ k/(k+1)! =

k=1

=1/1! - 1/2! + 1/2! -1/3! + 1/3! -1/4! + 1/4! -1/5! +... =

=1/1! + (1/2! - 1/2!) + (-1/3!+1/3!) + (-1/4! + 1/4!) + (-1/5! + 1/5!) + ... =

=1/1! = 1

A fenti megoldást teleszkopikus összegnek hívják, ha rákeresel a weben, fogsz rá találni egy csomó más példát is.