Határozzuk meg az a sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú hengert! Hogyan kéne deriválás nélkül megoldani?

Keressük ennek a függvénynek a maximumát:

V(m) = π/4·(4a²m-m³)

Az 'a' konstans, 'm' értékét keressük.

Most ez a függvény azért előnyösebb, mint a V(r), mert nincs benne gyök, egyszerű harmadfokú függvény.

A harmadfokú kifejezéseknél úgy tudunk könnyen szélsőértéket keresni elemi úton, ha nincs benne elsőfokú tag. Mivel

(x+k)³=x³ + 3kx² + 3k²x + k³

ezért most ha 3k² = 4a², akkor az elsőfokú tag ki fog esni. Legyen tehát:

m = x+2a/√3

V(x) = π/4(4a²x + 8a³/√3 - x³ - 6ax²/√3 - 4a²x - 8a³/(3√3))

V(x) = π/4(16a³/(3√3) - 2√3ax² - x³)

A π/4 szorzó nem számít, tehát ennek a függvénynek keressük a minimumát (beszoroztam -1-gyel!)

x³ + (2a√3)x² - 16a³/(3√3)

A végén a 16a³/stb. konstans sem módosítja a szélsőértékek helyét, marad tehát ez:

W(x) = x³ + (2a√3)x²

W(x) = x²(x + 2a√3)

Ez egy olyan harmadfokú függvény, aminek kettős gyöke van 0-ban és van egy gyöke -2a√3-ban. A kettős gyök helye szélsőértékhely is, ami most lokális minimum, hisz a zárójeles tényező 0 közelében pozitív, ezért bármely kis ε-ra W(0+ε)>0 és W(0-ε)>0 miközben W(0)=0.

Minket most a minimum érdekelt, tehát már tudjuk is, hogy x=0.

m = 2a/√3

Ugyanaz jött ki így is, mint deriválással.

---

Offtopic:

Azért megmondom a W(x) lokális maximumhelyét is, bár ez most nem kell: Ez valahol 0 és a másik (negatív) gyök között lesz. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséggel tudjuk megtalálni:

(a+b+c)/3 ≥ ∛(a·b·c)

W(x) = 4·(-x/2)(-x/2)(x + 2a√3) ≤ 4·(-x/2 - x/2 + x+2a√3)³/3³ = 4·24a³√3/27 ami konstans

Egyenlőség akkor áll fenn, ha a=b=c, vagyis ha -x/2 = x+2a√3, tehát x = -4a/(3√3)