Segítség, mi a következő integrál értéke?

Mivel a tartomány, ami felett integrálnod kell, egy nyolcad kör, érdemes áttérni polárkoordinátákra.

Egy pont polárkoordinátái (r,t), ahol r a pont origótól vett távolsága és t az origóból a pontba mutató félegyenesnek az x-tengellyel bezárt szöge. Ezekkel jellemezve a T tartományt 0<r<1, 0<t<pi/4 adja.

Az integrálnál polárkoordinátákra való áttéréskor ki kell fejezni az x és y koordinátákat r és t segítségével:

x=r*cos t,

y=r*sin t.

Ezt be kell helyettesíteni x és y helyére, valamint (a koordinátatranszformációra vonatkozó tétel miatt) még r-el meg kell szorozni.

Tehát amit integrálni kell a 0<r<1, 0<t<pi/4 tartományon:

e^(r^2(cos^2 t+sin^2 t))*r=(e^(r^2))*r.

Ennek a primitív függvénye (e^(r^2))/2 (ezt "visszaderiválással" könnyen ellenőrizheted), amibe behelyettesítve r=1-et és ebből kivonva az r=0 helyettesítésével kapott értéket:

(1/2)*(e-1) adódik.

Még ezt kell integrálni a 0<t<pi/4 tartomány felett, és mivel ez egy konstans, az integál értéke végül:

(pi/4)*(1/2)*(e-1)=(e-1)*pi/8.