A (0.6,1) intervallumon kellene a következő egyenletet megoldani?

3 gyökös darab van,

ha négyzetre emeled mindkét oldalt, akkor marad 2,

a gyökös tagokat bal oldalra rendezed, a gyökteleneket jobbra, és megint négyzetre emelsz, akkor már csak egy gyökös tag marad.

Megint a gyököst balra, a töbit jobbra és megint négyzetre emelsz és eltünt az összes gyökös tag,

viszont egy nyolcadfokú egyenletet kapsz.

Nem kell az egész egyenletet kiszámolni, csaka főegyütthatót meg a konstans tagot,

aztán abból már lehet kereseni racionális megoldásokat.

Ez az egész egy eléggé macerás művelet, amihez őszintén szólva lusta vagyok, ezért megpróbálom máshogy.

Egyrészt:

a (0.6, 1) intervallumon vagyunk, ahol sinus meg cosinus működőkepes megközelítés lehet.

Másrészt:

ha x mondjuk cos(a) akkor √(1-x²) az sin(a)

√(1+x) = √2*cos(a/2)

√(1-x) = √2*sin(x/2)

Harmadrészt:

0,6²+0,8²=1 tehát ez is lehet mondjuk egy sinus meg cosinus.

Mondjuk cos(b)=0,6

Hogy néz ki akkor az egyenletünk?

10(cos(b)cos(a) + sin(b)sin(a)) = 5√2 * (cos(a/2) + sin(a/2))

10*cos(a-b) = 5√2*√2(√2/2 *cos(a/2) + √2/2 sin(a/2))

10*cos(a-b)= 10*cos(a/2-Π/4)

cos(a-b) = cos(a/2-Π/4)

Namost ha megnézed, hogy milyen intervallumba eshetnek ezek az értékek a feladat feltételei szerint, akkor ez csak úgy lehet, ha

a-b=a/2-Π/4

a=2b-Π/2

Vagyis

x= cos(a) = cos(2b-Π/2) = sin(2b) = 2sin(b)cos(b)=2*0,6*0,8

x=0,96

Na most ha meg tudnád nézni az eddigi válaszaimat akkor látnád milyen gyakran számolom el a feladatot, ezért ezen a ponton fontos, hogy legalább helyettesíts vissza és ellenőrizd le, hogy jó-e a megoldás.

Mindenesetre ha ezt beírod a googleba:

6*0.96 + 8*(1-(0.96)^2)^(1/2) - 5*((1+0.96)^(1/2) + (1-0.96)^(1/2 )

akkor 0-t ad eredményül

Próbáltam megkeresni egy bizonyos Dr Trig weblapját, a könyvjelzőm még 2001-ből való és sajnos az eredeti lap már nem létezik, neki volt egy csomó ilyen peldája,

biztos most is vannak hasonló weblapok, ha tudsz angolul érdemes keresgélni milyen ötletek vannak egyenletek megoldására trigonometrikus módszerekkel. Mondjuk integrálásnál meg diffegyenletek esetén ez az egész szögfüggvényes helyettesítés sokkal fontosabb lesz.

Na megpróbálom a nyers erős megoldást is, csak hogy az is itt legyen.

6x + 8*√(1-x²) = 5*(√(1+x) + √(1-x) )

36x²+64-64x²+96x√(1-x²) = 50+50√(1-x²)

96x√(1-x²) -50√(1-x²) = 28x²-14

48x√(1-x²) -25√(1-x²) = 14x²-7

-2304x^4 +2400x^3+1679x^2-2400x+625 = 49 - 196x^2 + 196x^4

2500x^4 - 2400x^3 - 1875x^2 + 2400x - 576 = 0

Na és akkor ezzel lehet szórakozni.

Ha van racionális megoldása p/q alakban, ahol LKO(p,q)=1,

akkor q|2500 és p|576.

Nyilván a 24/25 valóban benne van a pakliba, de ez így rengeteg szám leellenőrzését jelenti, érdemes rá minimum excellt használni, vagy esetleg írni egy programot.

Ilyen visszafelé gondolatmenetről nem tudok.

Nem lehet egyszerű ha van is,mert nem lehet tudni, hogy a milyen helyettesítés lesz jó, szóval a következő gondolatmenethez kéne előre tudni, hogy sin9x)-et akarsz helyettesíteni és nem mondjuk tg(x)-et:

25(x²-1)(100x² - 96x + 25) +49 = 0

Innen indulva, el lehet valameddig jutni visszafelé:

-2304x^4 +2400x^3+1679x^2-2400x+625 = 49 - 196x^2 + 196x^4

(48x√(1-x²) -25√(1-x²))² = (14x²-7)²

és akkor is hogyan tovább? Ha nem tudod a végeredményt, nem nyilvávaló, hogy innen mit is kéne csinálni.