Végtelen sok relatív prím megoldása van az alábbi egyenletnek: x^2 + y^2 = z^5 + z Hogy lehet ezt bizonyítani?

A 4k+1 alakú prím az jó ötlet.

Végtelen sok van belőle és mindíg egyértelműen felírható két négyzetszám összegeként, és itt a baloldalon pont ilyen két négyzetszám összegére bontósdi van.

Ha mondjuk z egy 4k+1 alakú prím, akkor

felíható z=a²+b² alakban.

z^5+z=z(z^4+1) = (a²+b²)((z²)²+1²) = (az²+b*1)² + (a*1 - bz²)²

vagyis x=az+b; y=a-bz lesz amegoldás.

az+b, a-bz, z nyilván relatív prímek.

mivel 4k+1 alakú prímből végtelen sok van és ezek egymással relatív prímek,

ez szerintem a feladat feltételeinek megfelelő megoldásokat ad.

Bocsi, lemaradtak a négyzetek a megoldásból:

x=az²+b; y=a-bz²

A z az négyzeten lesz mindkét helyen.

Ennek megfelelően megy a többi része is a magoldásnak.

Érdekes, hogy senki nem dörgölte bele az orromat a hibába, pedig már három órája írtam.