Segítene valaki nekem megérteni ezt a feladatot?

Istenem de jó h már nem járok suliba...

részvétem a feladat miatt xd

mx '' = -Dx-Cx '

Ezt a diffegyenletet kell megoldani.

A testre ható erők:

- rugóerő, a kitéréssel arányos: F₁ = -D·x

- csillapítás, a sebességgel arányos: F₂ = -b·v = -b·x'

A bekeretezett dolgok végülis ezt írják le: Fe = m·a = m·v' = m·x''

(x helyett r-et ír középen, nem tudom miért, hisz mindenhol máshol x van)

Szóval az eredő erő:

Fe = F₁ + F₂

vagyis

m·x'' = -D·x - b·x'

Ez egy közönséges (csak egy változó (t) van az x(t) függvényben) másodrendű (mert kétszer van deriválva) lineáris (mert csak az első hatványon van minden) homogén (nincs benne se konstans, se t) állandó együtthatójú differenciálegyenlet.

Utána a diffegyenlet megoldása van. Hogy egyszerűbbre jöjjön ki az eredmény, bevezetett a b/2m meg √(D/m) helyébe betűket. (Az ω egyébként a rezgés körfrekvenciája lesz... ha periódikus lenne.)

Az ilyen diffegyenletnek az egyik megoldását x(t) = e^(λt) alakban lehet keresi, mert ennek a függvénynek a deriváltja saját magának a konstans-szorosa, és itt is ilyenek vannak. x(t)-t behelyettesítve és aztán egyszerűsítve e^(λt)-vel kijött ez:

λ² + 2αλ + ω² = 0

ami λ-ban másodfokú. A megoldóképlet adja a két megoldást λ-ra, amiből x(t)-re jön a két megoldás. A diffegyenlet általános megoldása ezek lineáris kombinációja:

x(t) = A·e^(λ₁t) + B·e^(λ₂t)

Az A és B együtthatókat a peremfeltételekből lehet meghatározni, amik ezek:

- kezdetben 10 cm a kitérés és 40 cm/s a sebesség.

Vagyis:

x(0) = 10 cm = x₀

x'(0) = -40 cm/s = v₀

Vagyis t=0-nál:

x(0) = A·e^0 + B·e^0 = A+B = x₀

x'(0) = A·λ₁·e^0 + B·λ₂·e^0 = v₀

Ezekből kijön A-ra és B-re ez az egyenletrendszer:

B = x₀ - A

B·λ₂ = v₀ - A·λ₁

Itt minden ismert, csak A és B nem. Ebből azok gyorsan kijönnek, de a megoldás azt már le se vezeti.

A feladatban a kérdés az, hogy mikor zérus a kitérés, vagyis x(t) = 0 milyen t-nél lesz:

x(t) = 0 = A·e^(λ₁t) + B·e^(λ₂t)

Itt A és B is már elvileg ismertek (bár nem számolta ki őket...)

Most oszt A·e^(λ₁t)-vel, amiből ez lesz:

0 = 1 + B/A · e^(λ₂-λ₁)t

λ₂-λ₁ viszonylag egyszerűre adódik, csak a gyökös kifejezés marad: -2·√(α²-ω²)

Utána már csak átrendez meg logaritmust von, hogy a t ne a kitevőben legyen és kész, megvan a t értéke.

(Az A/B azért lett megint B/A a végén, mert -ln(x) = ln(1/x))

Egyébként -B/A ez lenne:

(x₀ - A)·λ₂ = v₀ - A·λ₁

A = (λ₂·x₀ - v₀)/(λ₂-λ₁)

B = (v₀ - λ₁·x₀)/(λ₂-λ₁)

-B/A = (v₀ - λ₁·x₀)/(v₀ - λ₂·x₀)

----

Még annyit, hogy a λ gyököknél ha α²-ω² pozitív, vagyis amikor a csillapítás nagy, akkor a négyzetgyök és így a két λ valós szám. Ilyenkor nem lesz rezgőmozgás, hanem lecseng az egész az exponenciális függvény szerint.

Most ez lesz, hisz α=2, ω=1,732.

Ha viszont α kicsi, akkor a két λ komplex szám lesz. Ezekkel az e^(λt)-kből ez lesz:

λ = -α ± i·ω·√(1 - α²/ω²) = -α ± i·ω·β

A·e^(λ₁t) = A·e^(-α + i·ω·β)t = A·e^(-αt)·(cos(ω·β·t) + i·sin(ω·βt)

Persze még a B·e^(λ₂t)-t is hozzá kellene adni, attól a komplex tag végül kiesik, marad a koszinusz valamilyen fázissal. Megmarad az elején az e^(-valami·t) is, vagyis rezgés lesz, de az amplitúdója exponenciálisan csökken az idővel.

Ilyenkor a kérdésre a válasz is trükkös lenne, mert -B/A is komplex, annak kell a logaritmusát venni és elosztani a komplex négyzetgyökkel. Hagyjuk...

α = 2

ω = √3

λ₁ = -1

λ₂ = -3

A = -0,05

B = 0,15

-B/A = 3

t = ln(3)/2

Nekem is az jött ki.