A kúp magasságának és átmérőjének aránya 2:3, alkotója 10 cm. Kiszámítani a kúp teljes felszínét?

Pitagorász tétel egy képzeletbeli 3szőgre:

x: méretarány

4x^2+2.25x^2=100 innen x=4 , átmérő: 12

Kicsit slendrián a feladat megfogalmazása, mert a kúpnak nincs átmérője, csak az alapkörének. :-)

Legyen

a = 10 cm - a kúp alkotója

m - a kúp magassága

r - az alapkör sugara

α - a fél kúpszög

F = ?

Mivel a feladat megoldásához - a teljes felszín kiszámításához - az alapkör sugarát kell meghatározni, az ismert adatokból ezt kell valahogy kibányászni.

Az ismert adatokat a matematika nyelvére lefordítva:

A megadott arány

m/2r = 2/3

A kúp tengelymetszete alapján

m² + r² = 100

Az elsőből m-et kifejezve

m = (4/3)*r

majd behelyettesítve a másodikba

(16/9)*r² + r² = 100

kiemelve r²-et

r²(16/9 + 1) = 100

a zárójelben összevonva

r²*(25/9) = 100

mindkét oldalból gyököt vonva

(5/3)*r = 10

ebből

r = 6 cm

~~~~~~~

Ezek után lássuk a teljes felszínt, ami az alapkör és a palást területének összege

F = A + P

Az alapkör felszíne

A = r²π

a palásté

P = r²π/sinα (szólj, ha ez a képlet gondot okoz)

Az összegük

F = r²π + r²π/sinα

F = r²π(1 + 1/sinα)

A tengelymetszetből látható, hogy

sinα = r/a

Ezt behelyettesítve, majd egyszerűsítve

F = r*π(a + r)

vagyis a teljes felszín egy olyan paralelogrammának a területe, melynek egyik oldala az alapkör kerületének a fele (r*π), a másik pedig az alkotó és az alapkör sugarának az összege.

A számításhoz minden adat ismeret, csak be kell helyettesíteni

F = 6*π(10 + 6)

vagyis

F = 96π cm²

==========

Ez a pontos érték, ha akarod, elvégezheted a szorzást. :-)

DeeDee

**********