Hányféle olyan különböző háromszög van, amelyben a szögek nagysága fokokban mérve egész szám? (Két háromszöget különbözőnek tekintünk, ha azoknak legalább egy szögük különböző. )

Kombinatorika. Annyit segítek, hogy olyan (A; B; C) számhármasokat keresünk, amikre igaz, hogy

A+B+C =180

és

A; B; C egész számok.

Szép feladat, az előzöhöz még hozzátenném hogy A<=B<=C, mivel ha A-t és B-t megcseréljük, akkor nem kapunk új megoldást. További segítség:

[link]

Tényleg jó kis feladat. A partíciós megoldás nagyon klassz! Én nem tudtam olyan egyszerűt csinálni, csak ilyen nyögvenyelős jutott az eszembe:

α, β és γ 1-től induló egész számok, amiknek az össege 180.

Legyen a=α-1, b=β-1, c=γ-1. Ezek 0-tól indulnak, összegük 177.

Három szakaszra kellene bontani egy 177 hosszú számegyenest. Vagy más példát véve, van 177 golyó, és 3 edénybe kell szétosztani őket.

Ez ismétléses kombináció, (177+2 alatt 2) féle módon lehet szétosztani.

(Mondjuk úgy lehet könnyen megjegyezni, hogy a 177 golyóhoz adjunk még hozzá 2 golyót, rakjuk őket sorba, és a 179 golyóból válasszuk ki, hogy melyik 2 legyen fekete színű. Az a két golyó lesz a válaszfal, ami 3 részre osztja a számegyenest, a 3 részen lévő fehér golyók kerülnek a 3 edénybe. Ezt a 2 válaszfalat (179 alatt 2) féle módon választhatjuk ki, ennyiféle eset van tehát.)

Ezzel van azért egy gond: mondjuk az 50,60,70 és az 50,70,60 két külön eset, pedig nekünk egynek kellene számolni őket. Nem oszthatjuk el viszont egyszerűen 3!-sal az egészet, mert van benne mondjuk 60,60,60 is, amit eleve csak egyszer számoltunk bele. Ezért kezd bonyolódni a dolog, és innentől nyögvenyelős...

Nézzük a speciális eseteket:

Van 1 olyan, aminek mindhárom szöge egyforma. Ezt tehát egyszer számoltuk bele a (179 alatt 2)-be.

Aztán van olyan, aminek két szöge egyforma, a harmadik meg teljesen más. Ezeket háromszor számoltuk be a (179 alatt 2)-be a szerint, hogy a magában álló szám éppen hanyadik.

Számoljuk ki, ebből mennyi van. A két egyforma szöget vonjuk össze, az összeg páros lesz, ezért a harmadik szög is páros. Összegük 180: 2+178-tól kettesével 178+2-ig ez 89 lehetőség (mondjuk az első számnak a fele lesz a két egyforma szög, a második szám a harmadik szög). Ebben viszont benne volt a 120+60 is, ami a szabályos háromszög, úgyhogy a valóban csak egyenlőszárúaknak a száma 88.

Ezt a 88-at számoltuk be triplán a (179 alatt 2)-be.

Most már ki tudjuk számolni a teljesen általános számhármasokat, amikben nincs egyforma szám:

(179 alatt 2) - 3·88 - 1

Ezt kell osztani 3 faktoriálissal, mert a három szám ennyi módon permutálódhatott, amik mind ugyanazt az esetet jelentik nekünk.

Ahhoz aztán még vissza kell adni a 88-at meg az 1-et, ez lesz a végeredmény:

((179 alatt 2) - 3·88 - 1)/3! + 88 + 1

Ez ugyanannyi, mint ami a partíciókból is kijön p3(180)-ra.

Amugy meg is lehet számolni őket, pl az alábbi c++ kóddal:

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

int a,b,c;

int counter=0;

for(a=1; a<=60; ++a) {

for(b=a;b<=((180-a)/2);b++){

c=180-a-b;

cout<<a<<"\t"<<b<<"\t"<<c<<endl;

counter++;

}

}

cout<<"Darabszam="<<counter<<endl;

return 0;

}

A kiiratas vmiert rosszul lett paste-olva, helyesen:

cout<<a<<"\t"<<b<<"\t"<<c<<endl;

Erre a kódra gondolhattál:

[link]

Ne haragudj, de ha nem tudod kiszámolni azt, hogy

    ((179 alatt 2) - 3·88 - 1)/3! + 88 + 1

vagy még inkább azt, hogy

    (180²+6)/12 egész része

akkor nagyon meghaladja a tudásodat ez a feladat, nem neked való, a tanár úgyse hiszi el, hogy meg tudtad oldani.

Olyan erővel tippelhetsz is, hogy 2700.