Egy négyszögben a^2+c^2=b^2+d^2 Mekkora szöget zárnak be a négyszög átlói?

Az átlók α illetve 180°-α szöget zárnak be.

Az átlók 4 háromszögre bontják a négyszöget. Rajzold fel őket. Az átlódarabok hosszát (az átlókat a metszéspontjuk darabol kettőre) jelöljük e,f,g,h-val. A koszinusztételt felírva a háromszögekre:

a² = e²+f² - 2ef·cos(α)

b² = f²+g² - 2fg·cos(180°-α)

c² = g²+h² - 2gh·cos(α)

d² = h²+e² - 2he·cos(180°-α)

A megadott összefüggés tehát:

e²+f² - 2ef·cos(α) + g²+h² - 2gh·cos(α) = f²+g² - 2fg·cos(180°-α) + h²+e² - 2he·cos(180°-α)

(ef+gh)·cos(α) = (fg+he)·cos(180°-α)

(ef+gh)·cos(α) = -(fg+he)·cos(α)

A bal oldal pozitív, a jobb oldal negatív, kivéve, ha cos(α) éppen nulla. Vagyis az lesz a megoldás.

Azt rád bízom, hogy az hány fok.